Class 10 Maths
Chapter 10
ऊँचाई और दूरी Height and distance
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प्रश्न 1. यदि झण्डे की ऊँचाई कम कर दी जाए, तो उन्नयन कोण के मान में क्या परिवर्तन आएगा?
उत्तर – उन्नयन कोण का मान कम हो जाएगा I
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प्रश्न. आकृति में यदि कार रमा के ठीक नीचे आ जाए, तब अवनमन कोण क्या होगा ?
उत्तर- तब अवनमन कोण 90° का होगा I
क्योंकि α = 90°. उत्तर
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प्रश्न 1. जमीन पर स्थित किसी बिंदु से 90 मी. दूर स्थित मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हल: माना AB मीनार तथा जमीन पर स्थित बिंदु C है I
∴ BC = 90 मीटर, ∠C = 30°
माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर है I
अब, समकोण ABC में,
tan(∠C) = ABBC
tan30° = h90
h90 = 13
h = 903 = 903 x 33
h = 9033
h = 303 मीटर
अतः मीनार की ऊँचाई 303 मीटर है I
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प्रश्न 2. एक उर्ध्वाधर स्तंभ जिसकी ऊँचाई 3h मी. है, के पाद बिंदु से 3h दूरी पर स्थित किसी बिंदु से स्तभ के शिखर का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए। हल: माना AB उर्ध्वाधर स्तंभ है जिसका पाद बिंदु B है, AB = 3h
माना पाद बिंदु B से बिंदु C की दूरी BC = 3 h
तथा बिंदु C पर उन्नयन कोण =
समकोण ABC में,
tan = AB BC
tan = 3h3 h
tan = 33
tan = 3 X 33
tan = 3
tan = tan 60°
∴ = 60°
अतः बिंदु C से स्तम्भ के शिखर का उन्नयन कोण 60° है I
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प्रश्न 3. एक पतंग भूमि से 60 मी. ऊँचाई पर उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी भूमि के एक बिंदु पर खूँटी से बंधी हुई है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 30° है तब यह मानकर कि डोरी पूर्णतः तनी हुई है, उसकी लंबाई ज्ञात कीजिए। हल: माना बिंदु P पर पतंग तथा बिंदु R भूमि पर एक बिंदु है , जिस पर पतंग की डोरी बंधी है I
प्रश्नानुसार,
भूमि से पतंग की ऊँचाई PQ = 60 मीटर I
पतंग से डोरी की लम्बाई = PR
तथा भूमि के साथ डोरी का झुकाव ∠ PRQ = 30°
अब समकोण PQR में,
sin 30°= PQPR
60PR = 12
PR = 2 x 60 = 120 मीटर I
अतः डोरी की लम्बाई = 120 मीटर है I उत्तर
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प्रश्न 4. किसी स्तभ के पाद बिंदु से 15 मी. ऊंचे एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तथा भवन के पाद बिंदु से स्तंभ के शिखर का उन्नयन कोण 60° है तब स्तंभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हल: माना AB = स्तम्भ, PQ = भवन
प्रश्नानुसार,
PQ = 15 मीटर , ∠ PBQ = 30°, AB = ?, ∠ AQB = 60°
∵ AB स्तम्भ व PQ भवन धरातल पर लम्बवत होंगे I
∴ समकोण PQB में,
PQ (लम्ब )BQ (आधार ) = tan 30°
15BQ = 13
BQ = 153 ………..(1)
तथा समकोण ABQ में,
AB (लम्ब )BQ (आधार ) = tan 60°
AB153 = 3
AB = 153 x 3
AB = 15 x 3 = 45
अतः स्तम्भ की ऊँचाई 45 मीटर होगी I उत्तर
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प्रश्न 5. दो मीनारों के बीच की क्षैतिज दूरी 120 मी. है। दूसरी मीनार के शीर्ष से देखने पर प्रथम मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। यदि दूसरी मीनार की ऊँचाई 40 मी है तो प्रथम मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हल: माना AB व PQ दो मीनार है I
दोनों मीनारों के बीच की क्षैतिज दूरी BQ = 120 मीटर I
PQ = 40 मीटर
समकोण PLA में,
AL (लम्ब )PL (आधार ) = tan 30°
AL QB = 13
AL 120 = 13
AL = 120 3
AL = 120 3 x 33
= 120 3 3
AL = 403
परन्तु AB = AL + LB
AB = AL + PQ
= 403 + 40
= 40 (3 + 1) उत्तर
अतः प्रथम मीनार की ऊँचाई 40 (3 + 1) मीटर है I
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प्रश्न 6. एक मीनार के आधार से एक सरल रेखा में a और b दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं तो सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई ab होगी। हल: माना AB मीनार है तथा अधार B से जाने वाली रेखा पर स्थित दो बिंदु P, Q है I
माना AB = h, BP = a, BQ = b, ∠ APB =
तब ∠ AQB = ( 90°- )
अब ABP में ,
tan = ABBP
tan = ha
h = a tan ……..(1)
तथा ABQ में ,
tan (90°- ) = ABBQ
cot = hb [∵ tan (90°- ) = cot ]
h = b cot ………..(2)
समी. (1) व (2) को गुणा करने पर,
h2 = a tan .b cot = ab
h = ab सिद्ध हुआ I
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प्रश्न 7. 15 मीटर ऊँचे एक भवन के शिखर से किसी मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 60° तथा मीनार के पाद का अवनमन कोण 30° है तो मीनार की ऊँचाई एवं भवन से मीनार की दूरी ज्ञात कीजिए। हल: माना AB मीनार तथा CD भवन है चित्रानुसार,
CE II DB, CE = DB,
और, ∠ ACE = 60° , ∠ ECB = 30°
CD = 15 मी. = BE
AB = h मी.
AE = ( h – 15 ) मी.
AEC में,
tan 60° = AECE
3 = ( h – 15 )CE
CE = ( h – 15 )3 ………(1)
CEB में,
tan 30° = BECE
BE = CE. tan 30°
15 = ( h – 15 )3 x 13,
[समी. (1) से,]
15 = ( h – 15 )3
45 = h – 15
h = 45 + 15 = 60 मी.
समी. (1) से,
CE = 60 – 15 3 = 453
= 45 X 3 3 X 3 = 4533
= 153
अतः मीनार की ऊँचाई h = 60 मीटर एवं भवन से मीनार की दूरी CE = DB = 153 मीटर I उत्तर
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प्रश्न 8. नदी के एक किनारे पर दो बिंदु A और B के बीच की दूरी 40 मी. है। नदी के एक किनारे के समांतर दूसरे किनारे पर बिंदु C इस प्रकार है कि ∠ BAC=60° तथा ∠ ABC=30° तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल: माना नदी के एक किनारे पर दो बिंदु A और B है तथा दुसरे किनारे पर बिंदु C इस प्रकार है कि
AB = 40 मी., ∠ BAC = 60°, ∠ ABC=30°
माना नदी की चौड़ाई CD = h मीटर है I
तब, CDA में ,
tan 60° = CDAD
3 = hAD
AD = h3 ……….(1)
तथा CDB में ,
tan 30° = CDBD tan 30° = CDBD
13 = hBD
BD = h3 …………(2)
समी. (1) व (2) को जोड़ने पर,
AD + BD = h3 + h3
AD + BD = h 13 +3 = h 1 + 33
AB = h 43 ,
[∵ AD + BD = AB]
40 = h 43
h = 40 X 3 4
= 103 मी.
अतः नदी की चौड़ाई 103 मी. है I उत्तर
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प्रश्न 9. एक मंदिर का शिखर तथा उस पर लगा झण्डा भूमि के किसी बिंदु पर क्रमश: 30° और 30° का कोण अंतरित करते हैं। यदि मंदिर की ऊँचाई 10 मीटर हो, तो झण्डे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: माना BC मंदिर तथा AB उस पर लगा झंडा है I बिंदु P, मंदिर C से जाने वाली रेखा पर स्थित है I
तब ∠ APB = 30°, ∠ BPC = 30°
∠ APC = 30° + 30° = 60°
BC = 10 मीटर
माना AB = x मी. तब AC = ( x + 10) मी.
अब BCP में,
tan 30°= BCPC
13 = 10PC
PC = 103 ……….(1)
तथा ACP में,
tan 60°= ACPC
3 = ( x + 10)103
x + 10 = 103 x 3 = 30
x = 30 – 10 = 20
अतः झण्डे की ऊँचाई 20 मीटर है I उत्तर
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प्रश्न 10. 40 मीटर चौड़ी सड़क पर दो समान ऊँचाई वाले बिजली के खंभे एक दूसरे के सामने स्थित हैं। दोनों खम्भों के बीच सड़क पर स्थित किसी एक बिंदु से पहले एवं दूसरे खभे के उन्नयन कोण क्रमश: 30° व 60° हैं, तो खम्भे की ऊँचाई व खंभों से उस बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए। हल: माना AB व CD बिजली के खम्भे है तथा BD सड़क की चौड़ाई है तब
AB = CD = h (माना)
BD = 40 मीटर
BD पर बिंदु E इस प्रकार है कि
∠AEB = 30° , ∠ CED = 60°
अब ABE में,
tan 30° = ABBE
13 = hBE
BE = h3 ………..(1)
तथा CDE में,
tan 60° = CDED
3 = hED
ED = h3 ………..(2)
समी. (1) व (2) को जोड़ने पर,
BE + ED = h3 + h3
BD = h 3 +13
= h 3 + 13 = 4h3
40 = 4h3 h = 403 4
h =103 मीटर I
तथा BE = h3 [समी. (1) से]
BE = 103 x 3
= 10 x 3 = 30 मीटर
∴ ED = BD – BE
= 40 – 30 = 10 मीटर I उत्तर
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प्रश्न 11.एक प्रेक्षक भूमि से 90 मीटर की ऊँचाई पर क्षैतिज रेखा में उड़ रहे गुब्बारे को देखता है। यदि किसी क्षण प्रेक्षक की आँखों से गुब्बारे का उन्नयन कोण 45° हैं और कुछ समय बाद यह उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है तो गुब्बारे द्वारा बिंदु A से B तक तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: माना प्रेक्षक भूमि पर C पर स्थित है तथा समान ऊँचाई पर उड़ रहे गुब्बारा की A व B पर स्थिति इस प्रकार है कि ∠ ACP = 45°, ∠ BCQ = 30°
तथा AP = BQ = 90 मी. गुब्बारे की ऊँचाई है I
अब APC में,
tan 45° = APPC
1 = 90PC
PC = 90 मी.
तथा BCQ में,
tan 30° = BQCQ
13 = 90CQ
CQ = 903 मी.
∴ गुब्बारे द्वारा बिंदु A से B तक तय की गई दूरी
PQ = CQ – CP
CQ = 903 – 90
= 90 ( 3 – 1 ) मी. I उत्तर