CG Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 ज्यामितीय आकृतियों में समरूपताsymmetry in geometric shapes
करके देखें:-
Page No.:243
प्रश्न 1. 12 सेमी. लंबे एक रेखाखंड को 36 सेमी. लम्बा रेखाखण्ड बनाने के लिए स्केल गुणक क्या होगा ? इसी तरह 12 सेमी. के रेखाखण्ड की लम्बाई को 6 सेमी. करना हो तो स्केल गुणक क्या होना चाहिए ? उत्तर- रेखाखण्ड की लम्बाई = 12 सेमी.
36 = 12 x 3
∴ 36 सेमी. लम्बा बनाने के लिए स्केल गुणक 3 होगा I
इसी तरह 6 = 12 x 12
अतः 12 सेमी. लम्बे रेखाखण्ड को 6 सेमी. करने के लिए स्केल गुणक 12 होगा I उत्तर
Page No.:243
सोचे एवं चर्चा करें –
प्रश्न 1. (i) आपको अपनी किताब में बने भारत के नक़्शे (20 सेमी. x 20 सेमी. ) को दीवार ( 3 मी. x 2 मी. ) पर बनाना है I क्या आप स्केल गुणक 1 मी. = 12 सेमी. लेकर यह बना सकते हैं ?
(ii) यदि नहीं तो क्यों ?
(iii) स्केल गुणक अधिकतम कितना लिया जाए ताकि नक्शा 6 मी. x 4 मी. दीवार पर बनाया जा सके ?
हल – (i) नहीं I
(ii) किताब में बना नक्शा 20 सेमी. x 20 सेमी. का है I 1 मी. = 12 सेमी. लेने पर ; चूँकि 12 20 का गुणनखण्ड नहीं है I अतः इसे वांछित स्केल गुणक में नहीं लिया जा सकता I
(iii) दीवार का क्षेत्रफल = 6 मी. x 4 मी.
= 600 सेमी. x 400 सेमी.
अब चूँकि नक्शा 20 सेमी. x 20 सेमी. का है I
∴ 20 x 20 = 400 सेमी.
अतः स्केल गुणक 20 लेने पर नक्शा 400 सेमी. x 400 सेमी. की नाप का हो जाएगा जिसे 600 सेमी. x 400 सेमी. की दीवार पर आसानी से बनाया जा सकेगा I उत्तर
Page No.:244
प्रश्न 1. खेत के नक्शे को 1 सेमी: 10 मी. स्केल किया गया है I नक़्शे में खेत का माप 3 सेमी. x 4 सेमी. है। खेत का वास्तविक क्षेत्रफल वर्गमीटर में ज्ञात कीजिए?
हल: दिया है: पैमाना 1 सेमी = 10 मीटर
नक्शे में खेत की माप = 3 सेमी x 4 सेमी
∴ खेत का वास्तविक क्षेत्रफल = (3 x 10 मी.) x (4 x 10 मीटर)
= 30 मीटर x 40 मीटर
= 30 x 40 वर्ग मीटर
= 1200 वर्ग मीटर I उत्तर
Page No.:244
प्रश्न 2. आपके पास 3600 वर्ग सेमी क्षेत्रफल की वर्गाकार पेंटिंग है। स्केल गुणक 0.1 लेते हुए पेटिंग को स्केल करें। स्केलिंग करने के बाद भुजा का माप ज्ञात कीजिए ?
हल: दिया है: पेंटिंग का आकार वर्गाकार है I और पेंटिंग का क्षेत्रफल = 3600 वर्ग सेमी
स्केल गुणक = 0.1 है।
∵ स्केल गुणक 1 से कम है अतः आकार को छोटा करना है।
∴ पेंटिंग का क्षेत्रफल = 3600 वर्ग सेमी
= 60 सेमी x 60 सेमी
स्केलिंग करने पर पेंटिंग का क्षेत्रफल
= (60 x 0.1 सेमी) x (60 x 0.1 सेमी)
= 6.0 सेमी x 6.0 सेमी
स्पष्ट है कि स्केलिंग के बाद आयकताकार पेंटिंग की भुजा की माप = 6 सेमी। उत्तर
Page No.:244
प्रश्न 3. किसी शहर के नक्शे में रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट (हवाई अड्डा) की दूरी 3 सेमी है। यदि नक्शे का पैमाना 2 सेमी :7 किमी है तो रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट की वास्तविक दूरी किमी में क्या होगी ? हल दिया है: रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट की दूरी = 3 सेमी
∵ पैमाना : 2 सेमी = 7 किमी
∴ स्केल का गुणक = 72 होगा I
अतः रेल्वे स्टेशन से एयरपोर्ट की दूरी
= 3 x 72 किमी
= 212 किमी = 10.5 किमी I उत्तर
सोचे एवं चर्चा करें –
Page No.:244
प्रश्न 1. क्या सभी वर्ग समरूप होते है? उत्तर- हाँ क्योंकि वे समकोणीय होते हैं I (AA समरूपता)
Page No.:244
प्रश्न 2. क्या सभी वृत्त समरूप होते हैं ? उत्तर – हाँ क्योंकि सभी वृतों को मात्र उनकी त्रिज्याओं को घटाकर या बढ़ाकर एक – दूसरे के बराबर किया जा सकता है I
Page No.:250
प्रश्न 1. एक वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या 52 मीटर है। इस मैदान का नक्शा कागज पर बनाइए जिसमें पैमाना 13 मीटर : 1 सेमी हो I नक्शे में मैदान की त्रिज्या क्या होगी ?
हल:- दिया है: मैदान की त्रिज्या r = 52 मीटर
∵ पैमाना : 13 मीटर : 1 सेमी
स्केल गुणक = 113
अतः मैदान की त्रिज्या = 52 x 113 = 4 सेमी I उत्तर
Page No.:250
प्रश्न 2. किसी आयत की दो आसन्न भुजाओं का माप क्रमश: 5 सेमी और 7.5 सेमी है। निम्न स्केल गुणक मानते हुए नए आयतों की भुजाओं का माप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) 0.8 (ii) 1.2 (iii) 1.0.
स्केल गुणक ‘1’ मानने पर मिला आयत क्या वास्तविक आयत के सर्वांगसम है ?
हल: दिया है: आयत की आसन्न भुजाएँ
लम्बाई = 5 सेमी
चौड़ाई = 7.5 सेमी।
(i) स्केल गुणक = 0.8 लेने पर
लम्बाई = 5 x 0.8 = 4.0 सेमी
चौड़ाई = 7.5 x 0.8 = 6.00 सेमी।
(ii) स्केल गुणक = 1.2 लेने पर
लम्बाई = 5 x 1.2 = 6.0 सेमी
चौड़ाई = 7.5 x 1.2 = 9.00 सेमी।
(iii) स्केल गुणक 1.0 लेने पर
लम्बाई = 5 x 1.0 = 5 सेमी
चौड़ाई = 7.5 × 1.0 = 7.5 सेमी।
स्पष्ट है कि स्केल गुणक 1.0 लेने पर लम्बाई एवं चौड़ाई का माप नहीं बदलता है।
अतः इस माप का आयत वास्तविक आयत के सर्वांगसम होगा।
Page No.:250
प्रश्न 3. आकृति में MN II ST तब निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए –
(i) TNNR (ii) TRNR (iii) TNRT .
हल: दिया है: MN II ST
RM = 6 MS = 3
∵ MN II ST
∴ RMMS = RNNT
63 = RNNT
∴ RNNT = 21
(i) NTRN = 12 उत्तर
(ii) TRNR = SRMR
= SM + MRMR = 3 + 66
= 96 = 32 उत्तर
(iii) TNRT = SMSR = SMSM + MR
= 33 + 6 = 39 = 13 उत्तर
Page No.:250
प्रश्न 4. आधारभूत समानुपातिक प्रमेय (Basic proportionality theorem) का उपयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। हल: दिया है: ABC में बिंदु D AB का मध्य बिंदु है तथा DE II BC
सिद्ध करना है : E AC का मध्य बिंदु है I
उपपत्ति : ∵ बिंदु D AB का मध्य बिंदु है I
∴ AD = DB
ADDB = 11 ………..(1)
अब ∵ DE || BC
∴ ADDB = AEEC
(आधारभूत आनुपातिकता का प्रमेय से)
11 = AEEC [समी. 1 से ]
AE = EC
∴ E AC का मध्य बिंदु है I सिद्ध हुआ I
Page No.:250
प्रश्न 5. आकृति में DF || AE और DE || AC है। सिद्ध कीजिए कि BFFE = BEEC है I
हल: दिया है:- ABC में DF || AE DE || AC
सिद्ध करना है : BFFE = BEEC
उपपत्ति: ∵ ABC में DF || AE (दिया है)
∴ BDDA = BFFE ……..(1)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
इसी प्रकार ABC में DE || AC
∴ BDDA = BFEC ………..(2)
(आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय से)
समीकरण (1) व (2) से
BFEF = BEEC सिद्ध हुआ।
Page No.:250
प्रश्न 6. किसी PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिन्दु E और F स्थित है। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या EF || QR है-
(i) PE = 3.9 सेमी EQ = 3 सेमी PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी।
(ii) PE = 4 सेमी QE = 4.5 सेमी PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी।
(iii) PQ = 1.28 सेमी PR= 2.56 सेमी PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी।