Class 10 Maths
Chapter 12
वृत एवं स्पर्श रेखाएँ Circles and Tangents
करके देखें:-
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प्रश्न. सत्य या असत्य लिखिए I कारण व उदाहरण से समझाइए I 1. वृत की अनेक त्रिज्याएँ होती हैं I 2. वृत की सभी त्रिज्याएँ समान नहीं होती हैं I
उत्तर – 1. सत्य I वृत की परिधि पर स्थित किसी बिंदु से केंद्र की दूरी त्रिज्या कहलाती है I चूँकि परिधि पर अनंत बिंदु होते हैं, अतः त्रिज्याएँ भी अनेक होती हैं I
2. असत्य I त्रिज्याएँ समान न होने पर केंद्र से वृत की परिधि पर स्थित बिन्दुओं की दूरियाँ समान नहीं होंगी, जो कि असंभव है I
Page No.:270
(i) नीचे दी गई आकृतियों में जीवा की पहचान करें I
आकृति 1 आकृति 2 आकृति 3 आकृति 4
उत्तर – आकृति 3 – PQ
आकृति 4 – RS
(ii) क्या जीवाएँ एक ही लंबाई की हैं ?
उत्तर – नहीं I
(iii) सबसे लम्बी जीवा कौन – सी हैं ? उत्तर- RS (व्यास) I
सोचें एवं चर्चा करें-
Page No.:271
प्रश्न. क्या आकृति में MN के अतिरिक्त और भी व्यास खींचे जा सकते हैं? यदि हाँ, तो ऐसे कितने व्यास खींचे जा सकते हैं?
उत्तर – हाँ , अनंत I
करके देखें –
Page No.:272
प्रश्न. कागज पर एक वृत्त खींचिए तथा अलग – अलग माप की जीवा खींचकर जीवा की लम्बाई तथा संगत लघु वृत्तखंड में संबंध ढूँढ़िये I
हल: यहाँ हम देखते हैं कि जीवा AB छोटी है, अतः संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल भी कम है I
दूसरी ओर, जीवा PQ बड़ी है, अतः संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल भी अधिक है I
सोचें एवं चर्चा करें –
Page No.:272
(1) एक वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी. है I वृत्त की जीवाओं की लम्बाइयाँ क्रमशः 4 सेमी., 6 सेमी, 10 सेमी व 8 सेमी हैं I इन जीवाओं के संगत दीर्घ वृत्तखण्ड को छोटे से बड़े के क्रम में लिखिए I
उत्तर – 10 सेमी का दीर्घ वृत्तखण्ड, 8 सेमी का दीर्घ वृत्तखण्ड, 6 सेमी का दीर्घ वृत्तखण्ड, 4 सेमी का दीर्घ वृत्तखण्ड I
Page No.:272
(2) उपरोक्त 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में जब जीवा 12 सेमी की हो, तो दीर्घ वृत्त खंड और लघु वृत्त खंड में क्या संबंध देखते हैं?
उत्तर- चूँकि वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है, अतः उसका व्यास 12 सेमी होगा I परिणामस्वरूप 12 सेमी की जीवा अर्थात् व्यास का दीर्घ वृत्तखण्ड और लघु वृत्तखण्ड दोनों एक समान होंगे I
करके देखें-
Page No.:272
प्रश्न. दी गई आकृति में त्रिज्या, जीवा, व्यास, चाप, त्रिज्यखण्ड, वृत्तखण्ड की पहचान कर दी गई तालिका में लिखें I
करके देखें –
Page No.:273
प्रश्न. 5 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचे I वृत्त में 3, 5, 6, 8, 10 सेमी लम्बाई की दो – दो जीवाएँ खींचे I चाँदे की सहायता से इन जीवाओं द्वारा केंद्र पर बने कोणों की माप करें और दी गई तालिका में लिखें I
उपरोक्त तालिका को पूर्ण करने पर आप पाएंगे कि एक वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं I
हल :
| जीवा की लम्बाई | 3 सेमी AB;PQ | 5 सेमी BC; PR | 6 सेमी DE ; ST | 8 सेमीFG; MN | 10 सेमीHI; KL | |||||
| कोण | 35° | 35° | 60° | 60° | 85° | 85° | 110° | 110° | 180° | 180° |
इस प्रकार, वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं I
करके देखें –
Page No.:275
1. एक वृत्त के अंतर्गत समबहुभुज की प्रत्येक भुजा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है तो समबहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए I
हल: माना समबहुभुज की n भुजाएँ हैं I
प्रश्नानुसार, प्रत्येक भुजा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है I अतः
n x 60° = 360°
n = 36060 = 6
अतः समबहुभुज की भुजाओं की संख्या 6 होगी I उत्तर
करके देखें –
Page No.:278
5x त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 6xलम्बाई की जीवा पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए I हल : माना जीव AB = 6x, त्रिज्या OB = 5x, लम्ब OP = ?
चूँकि, केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब, उसे समद्विभाजित करता है I
∴ AP = PB = AB2
= 6×2 = 3x
अब समकोण त्रिभुज OPB में बोधायन – पाइथागोरस प्रमेय से,
OP2 + PB2= OB2
OP2 + (3x)2= (5x)2
OP2 + 9×2= 25×2
OP2 = 25×2 – 9×2
= 16×2
∴ जीवा पर डाले गये लम्ब की लम्बाई,
OP = 16×2 = 4x. उत्तर
Page No.:279
प्रश्न 1. वृत्त की जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए-
यदि
(i) त्रिज्या = 13 सेमी तथा जीवा की केन्द्र से दूरी = 12 सेमी।
(ii) त्रिज्या = 15 सेमी तथा जीवा की केन्द्र से दूरी: = 9 सेमी।
हल : (i) माना वृत्त का केन्द्र बिन्दु O तथा AB एक जीवा है,
तब OC AB से,
OC = 12 सेमी
तथा, त्रिज्या = OA = OB = 13 सेमी
अब समकोण OCA में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
OA2 = OC2 + AC2
132= 122+ AC2
169 = 144 + AC2
169-144 = AC2
25 = AC2
∴ AC = 25 = 5 सेमी
परन्तु जीवा AB = 2X AC
AB = 2×5 = 10 सेमी। उत्तर
Page No.:279
(ii) माना वृत्त का केन्द्र बिन्दु O तथा AB एक जीवा है,
तब OC AB से,
OC = 9 सेमी
त्रिज्या = OA = OB= 15 सेमी
अब समकोण OCA में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
OA2 = OC2 + AC2
152= 92+ AC2
225 = 81 + AC2
225 – 81 = AC2
144 = AC2
∴ AC = 144 = 12 सेमी
परन्तु जीवा AB = 2X AC
AB = 2×12 = 24 सेमी। उत्तर
Page No.:279
प्रश्न 2. वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि जीवा की लम्बाई तथा केन्द्र से दूरी क्रमशः
(i) 8 सेमी और 3 सेमी, (ii) 14 सेमी और 24 सेमी।
हल : (i) माना वृत्त का केन्द्र बिन्दु O तथा एक जीवा AB है।
तब AB = 8 सेमी
तथा OC AB से,
OC = 3 सेमी
∵ AB = 2X AC
∴ AC = AB2 = 82 = 4 सेमी
अब समकोण OCA में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
OA2 = OC2 + AC2
OA2= 32+ 42
OA2= 9+ 16
∴ OA = 25 = 5 सेमी
अतः, त्रिज्या OA = 5 सेमी। उत्तर
(ii) माना वृत्त का केन्द्र बिन्दु O तथा AB एक जीवा है।
तब AB = 14 सेमी
तथा OC AB से,
OC = 24 सेमी
∵ AB = 2X AC
∴ AC = AB2 = 142 = 7 सेमी
अब समकोण OCA में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
OA2 = OC2 + AC2
OA2= 72+ 242
OA2 = 49 + 576
OA2 = 625
OA = 625 = 25 सेमी
अतः त्रिज्या OA = 25 सेमी। उत्तर
Page No.:279
प्रश्न 3. आकृति में, PQ वृत्त का व्यास है। MN PQ तथा PQ = 10 सेमी और PR = 2 सेमी है, तो MN की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है- वृत्त में PQ व्यास है।
तथा, MN PQ, PQ = 10 सेमी.
PR = 2 सेमी.
∵ OP = PQ2 = 102 = 5 सेमी.
∴ OR = OP – PR = 5 – 2 = 3 सेमी.
ON तथा OM को मिलाया।
∵ MN PQ
∴ MR OR तथा MR = NR
अतः समकोण ORM में पाइथागोरस प्रमेय से,
OM2 = OR2 + MR2
OP2 = OR2 + MR2
∵ [OM = OP= प्रत्येक त्रिज्या है।]
∴ 52 = 32 + MR2
25 – 9 = MR2
MR2 = 16 = 42
∴ MR = 4 सेमी.
अतः MN = 2 x MR
MN = 2 x 4 = 8 सेमी. उत्तर
Page No.:279
प्रश्न 4. आकृति में जीवा AB = 18 सेमी है तथा PQ, जीवा AB की लंब-समद्विभाजक है, जो जीवा को M बिंदु पर मिलती है, यदि MQ= 3 सेमी हो तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है— AB = 18 सेमी.,
MQ = 3 सेमी.
∵ PQ, जीवा AB का लंब-समद्विभाजक है।
∴ PQ केन्द्र O से होकर गुजरेगी तथा AM = BM
AM = BM = AB2= 182 = 9 सेमी.
माना वृत्त की त्रिज्या OA = x सेमी.
तब
OA = OQ,
[प्रत्येक त्रिज्या है]
OA = OM + MQ
x = OM + 3
OM = (x – 3) सेमी.
समकोण OMA में पाइथागोरस प्रमेय से,
OA2 = OM2 + AM2
x² = (x-3)² + 9²
x² = x² + 9 – 6x+81
6x = 90
x = 15
अतः वृत्त की त्रिज्या OA = 15 सेमी. उत्तर
Page No.:279
प्रश्न 5. एक वृत्त जिसका केन्द्र O है, की दो जीवाएँ PQ और QR हैं तथा ∠ PQO = ∠ OQR = 55° I सिद्ध कीजिए कि PQ = QR.
हल: दिया है- वृत्त जिसका केन्द्र O है।
तथा PQ तथा QR जीवाएँ इस प्रकार हैं कि ∠PQO = ∠OQR = 55°
OQP में,
OP = OQ, [ प्रत्येक त्रिज्या है।
(अतः OQP एक समद्विबाहु त्रिभुज है I)
∴ ∠OPQ = ∠OQP = 55°
∠ POQ = 180° – (55° + 55°)
∠ POQ = 180° – 110° = 70°
इसी प्रकार OQR में,
∠QOR = 70°
अब POQ व QOR में,
OP=OR [ प्रत्येक त्रिज्या है|
OQ=OQ, [उभयनिष्ठ है।
तथा
∴ ∠POQ = ∠QOR [ प्रत्येक 70° है]
POQ ≌ QOR,
[भु. को भु. सर्वांगसमता से।
PQ = QR से
[सं. त्रि. के संगत भुजा से]
सिद्ध हुआ।
Page No.:279
प्रश्न 6. केन्द्र O वाले एक वृत्त में AB और AC दो समान जीवाएँ हैं। यदि OD AB और OE AC तो सिद्ध कीजिए कि ADE समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल : दिया है वृत्त में AB = AC
OD AB व OE AC
सिद्ध करना है – ADE समद्विबाहु त्रिभुज है।
रचना- D व E को मिलाया।
∵ AB = AC (दिया है)
12 AB = 12 AC ( ∵ केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को दो बराबर
AD = AE भागो में विभाजित करता है I )
स्पष्ट है कि ADE में, AD = AE
∴ ADE एक समद्विबाहु त्रिभुज है। सिद्ध हुआ।
करके देखें-
Page No.:281 एक वृत्त का प्रश्न. चाप दिया गया है ( देखिए आकृति – 36) I
वृत्त का केंद्र ज्ञात कर वृत्त को पूरा कीजिए I
हल: दिए गए चाप पर चार बिंदु A, B, P तथा Q लिए I
AB और PQ को मिलाया I AB तथा PQ के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं I O को केंद्र मानकर तथा OA को त्रिज्या लेकर वृत्त पूरा किया I
Page No.:281
प्रश्न. क्या तीन संरेख बिन्दुओं से होकर जाने वाला कोई वृत्त खींचा जा सकता है?
उत्तर- यह कथन असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं से होकर जाने वाला वृत्त उन दोनों बिन्दुओं के संरेख तीसरे बिन्दु से होकर नहीं जा सकता।
Page No.:282
प्रश्न. एक वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं I उपपत्ति दें I हल: दिया है: वृत्त C(O, r) में, जीवा AB तथा जीवा CD दी गई हैं I
OM = ON
हाँ, OM, AB की केंद्र से दूरी तथा ON, CD की केंद्र से दूरी है I
सिद्ध करना है – AB = CD.
उपपत्ति – समकोण त्रिभुजों OMB तथा OCN में,
OB = OC, (वृत्त की त्रिज्याएँ )
OM = ON, (दिया है )
OMB ≅ OCN, (समकोण – कर्ण – भुजा प्रमेय)
अतः MB = NC
2MB = 2NC
AB = CD, ( केंद्र से डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है I) सिद्ध हुआ I
Page No.:284
प्रश्न 1. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और AC बराबर हैं। सिद्ध कीजिए कि वृत्त का केन्द्र ∠ BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
हल: माना वृत्त का केन्द्र बिन्दु O है तथा जीवाएँ AB = AC
OA, OB व OC को मिलाया।
तब सिद्ध करना है : ∠OAB = ∠ OAC
अब OAB व OAC में,
OB = OC,
(एक ही वृत्त को त्रियाएं है।)
OA = OA (उभयनिष्ठ भुजा है।)
AB = AC
∴ OAB ≌ OAC.
( भु.- भु. – भु. सर्वागसमता से)
अतः ∠OAB = ∠ OAC
(सर्वांगसम त्रिभुज के संगत अवयव है।)
∴ वृत का केंद्र O , ∠ BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
Page No.:284
प्रश्न 2. 10 सेमी और 24 सेमी की दो समान्तर जीवाएं वृत्त के केन्द्र के विपरीत ओर हैं। जीवाओं के बीच की दूरी 17 सेमी है। वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए। हल: माना वृत्त का केन्द्र O है तथा दो जीवाएं AB II CD है।
तब AB = 10 सेमी
CD = 24 सेमी
OA = OC= त्रिज्या
OM AB तथा ON CD खींचे, तब M, O, N
समरेख होंगे।
∴ MN= जीवाओं के बीच की दूरी = 17 सेमी होगी।
माना OM = x सेमी तब ON = ( 17-x) सेमी होगी
∵ केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
∴ AM = AB2
= 102 = 5 सेमी
तथा CN = CD2
= 242 = 12 सेमी
अब समकोण OMA में पाइथागोरस प्रमेय से,
OA2 = AM2 + OM2
= 52 + x2 …….(1)
समकोण ONC में पाइथागोरस प्रमेय से,
OC2 = CN2 + ON2
=12² + (17-x)²
परन्तु OA = OC
(एक ही वृत की त्रिज्याएँ हैं )
∴ OA2 = OC2
52 + x2 = 12² + (17-x)²
[समी. 1 व 2 से ]
25 + x2 = 144 + 289 + x2 – 34x [ ∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ]
25 = 433 – 34x
34x = 433 – 25 = 408
x = 40834 = 12
समी. (1) से,
OA2 = 52 + 122
= 25 + 144
OA2 = 169
OA = 169
OA = 13 सेमी.
अतः वृत्त का व्यास = 2OA
= 2 x 13 = 26 सेमी I उत्तर
Page No.:284
प्रश्न 3. एक वृत्त का केन्द्र O है तथा ∠ APD का कोण समद्विभाजक PO है ( देखिए आकृति) सिद्ध कीजिए AB = CD.
हल: दिया है- वृत्त का केन्द्र O है तथा ∠ APD का कोण समद्विभाजक PO है।
सिद्ध करना है –
AB = CD
रचना – OL AB तथा OM CD खींचे I
अब OLP व OMP में,
∠OLP = ∠OMP,
[प्रत्येक 90° है, रचना से ]
∠OPL = ∠OPM
[OP, ∠ APD का कोण समद्विभाजक है, दिया है I ]
OP = OP, [उभयनिष्ठ भुजा है ]
∴ OLP ≅ OPM,
[ को. को. भु. सर्वांगसमता से ]
PL = PM
[ स. त्रि. का संगत अवयव है ]
तथा OL = OM
[ स. त्रि. का संगत अवयव है ]
AB = CD,
[ केंद्र से समदूरस्थ जीवाएँ समान होती है ] सिद्ध हुआ I
Page No.:284
प्रश्न 4. दो वृत्त हैं जिनका केंद्र O और C है तथा त्रिज्या क्रमशः 13 सेमी. और 3 सेमी. है ( देखिए आकृति) I यदि OC का लम्ब समद्विभाजक, बड़े वृत को A और B पर मिलता है, तो AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए I
हल : बड़े वृत की त्रिज्या OP = 13 सेमी.
छोटे वृत्त की त्रिज्या CP = 3 सेमी.
OC का समद्विभाजक AB है जो OC को बिन्दु L (माना) पर मिलती है I
∴ AL = LB तथा OL AB
माना AL = x सेमी, तब OLA में पाइथागोरस प्रमेय से
OA2 = OL2 + AL2
OP2 = LC2 + AL2,
[∵ OA = OP = त्रिज्या, OL = LC दिया है ]
132 = 52 + AL2
169 – 25 = AL2,
[∵ OP = OL + LC + CP
13 = LC + LC + 3
13 – 3 = 2LC
LC = 102 = 5 ]
144 = AL2
(12)2 = AL2
∴ AL = 12 सेमी.
परन्तु AB = 2 x AL,
[क्योंकि AB, OC का लम्ब समद्विभाजक है]
AB = 2 x 12
AB = 24 सेमी. उत्तर
Page No.:284
प्रश्न 5. आकृति में केंद्र O वाले एक वृत्त में AB और CD दो समान जीवाएँ बिंदु E पर समकोण पर मिलती है I यदि P और Q जीवा AB और CD के मध्य बिन्दु हों तो, सिद्ध कीजिए कि OPEQ एक वर्ग है I
हल : दिया है – AB = CD
∠ AEC = 90°
P व Q जीवा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है I
∴ केंद्र से जीवा के मध्यबिंदु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है I
∴ ∠OPE = ∠OQE = 90° ………(1)
∵ AB = CD [दिया है]
क्योंकि समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती है I
∴ OP = OQ ………….(2)
तथा ∠AEC = ∠PEQ = 90° ………(3)
समी. (1) व (3) से,
∠ OPE = ∠PEQ = ∠OQE = 90°
तथा OP = OQ
∴ OPEQ एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज हुआ जिसका प्रत्येक कोण समकोण है एवं आसन्न भुजा का एक युग्म समान है I
∴ OPEQ एक वर्ग होगा I सिद्ध हुआ I
Page No.:285
सोचें एवं चर्चा करें –
प्रश्न. एक वृत्त के लघु चाप APB का अंश माप (आकृति ) x° हो, तो दीर्घ चाप AMB का अंश माप (360°-x°) होता है, क्यों ?
हल:
वृत्त के केंद्र पर बना कोण 360° का होता है I
अब, लघुचाप APB का अंशमाप ∠AOB = x°
∴ दीर्घ चाप AMB का अंशमाप = इस चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण
= 360° – x°.
करके देखें –
Page No.:287
प्रश्न. दी गई आकृतियों में x का मान ज्ञात कीजिए I
आकृति -1
हल: आकृति – 1 में, 2x = 120°
∴ x = 1202 = 60°
आकृति -2
उत्तर – केंद्र नहीं दिखाया गया है, अतः अस्पष्ट I
आकृति -3
उत्तर – ∠MON = 360° – 240°
= 120°
∴ 2x = 120°
x = 60°. उत्तर
आकृति -4
हल : ∠ABC = 90°( वृत्तार्द्ध का कोण)
अब, ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
50° + 90° + x = 180°
x = 180° – 140°
= 40°. उत्तर
करके देखें –
Page No.:288
प्रश्न. दी गई आकृति में x और y का मान ज्ञात कीजिए I
आकृति – 1
हल : ∠D = ∠C, (एक ही वृत्तखण्ड के कोण)
∴ x = 40°.
अब : आकृति , y = 2x
= 2 x 40°
= 80° . उत्तर
आकृति – 2
हल : 2x = 60°
∴ x = 30°
अब, x = y
∴ y = 30°. उत्तर
Page No.:289
प्रश्न 1. आकृति में , O वृत्त का केंद्र है, PQ एक जीवा है I यदि ∠ PRQ = 50 हो तो ∠ OPQ ज्ञात कीजिए I
हल: दिया है: ∠ PRQ= 50°
ज्ञात करना है: ∠ OPQ = ?
∵ चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण शेष खण्ड में बनाये गये कोण का दुगुना
होता है।
∴ ∠ POQ = 2 x ∠ PRQ
∠ POQ = 2 x 50°
∠ POQ = 100°
अब OPQ में,
OP = OQ
(एक ही वृत की त्रिज्याएँ है)
∴ ∠ OPQ = ∠ OQP = x° (माना)
तब 100° + x + x = 180°
2x = 180° – 100° = 80°
x = 80°
अतः ∠ OPQ = x = 80° उत्तर
Page No.:289
प्रश्न 2. दी गई आकृति में ∠PBO का मान ज्ञात कीजिए जिसमें∠AOB = 50 तथा
∠ PQB = 75° है।
हल: दिया है- ∠ AOB = 50°, ∠ PQB = 75°
∵ चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण शेष खण्ड में बनाये गये कोण का दुगुना होता है।
यहाँ पर द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण = ∠ AOB
तथा द्वारा शेष खण्ड में बना कोण = ∠ APB
∴ ∠ AOB = 2 x ∠ APB
50° = 2 x ∠ APB
∠ APB = 502 = 25°
∠ APB = 25°
[ ∵ ∠ APB = ∠ QPB ]
∵ PQB में सभी अन्तः कोणों का योग 180° होगा I
∴ ∠ QPB + ∠ PQB + ∠ QBP = 180°
25° + 75° + ∠ QBP = 180°
100° + ∠ QBP = 180°
∠ QBP = 180° – 100°
∠ QBP = 80° , (∠ QPB = ∠ PBO) उत्तर
Page No.:289
प्रश्न 3. आकृति में x का मान ज्ञात कीजिए।O वृत्त का केन्द्र है।
हल: दिया है- ∠ AOC = 70°
चित्रानुसार AB वृत्त का व्यास है।
∴ OA = OB = OC,
[प्रत्येक त्रिज्या है।]
OBC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠OCB = ∠OBC = x
∠OCB = ∠ ABC = x …… (1)
(त्रिभुज में समान भुजा के सम्मुख कोण समान होते हैं)
∵ वृत्त के किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण वृत्त के परिधि के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
∴ ∠ AOC = 2x ∠ ABC
∠ AOC = 2 X x [ सेमी. (1) से ]
70° = 2x
x = 70°2 = 35° उत्तर
Page No.:290
प्रश्न 4. यदि O वृत्त का केन्द्र है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है- ∠ POR = 130°
∠ POR + ∠ ROQ = 180°
[ रेखीययुग्म अभिगृहीत से ]
130° + ∠ ROQ = 180°
∠ ROQ = 180° – 130°
∠ ROQ = 50° ……(1)
∵ ∠ QOR चाप QR का केन्द्रीय कोण है I
तथा ∠ RSQ , चाप QR द्वारा परिधि के शेष भाग में अंतरित कोण हैं I
∴ ∠ QOR = 2 x ∠ QSR
50° = 2x [ सेमी. (1) से ]
x = 25° उत्तर
Page No.:290
प्रश्न 5. यदि O वृत्त का केन्द्र है, तो दी गई आकृति में x का मान ज्ञात कीजिए।
हल: चित्रानुसार, ∠ ADB व ∠ ACB वृत्त के एक ही खण्ड में बने कोण हैं I
∵ ∠ ACB = ∠ ADB (∵ एक चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर बने कोण समान होंगे I)
∠ACB = 45° ….. (1)
[ ∵ ∠ ADB = 45° ]
अब ABC में,
∠ ACB + ∠ BAC + ∠ ABC = 180° [∵ त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180°
45° + 60° + x = 180° होता है I ]
x = 180° – 105°
x = 75° उत्तर
Page No.:290
प्रश्न 6. आकृति में ∠ ABC का मान ज्ञात कीजिए।
हल: चित्रानुसार, ∠ AOC = 120°= चाप ABC का केन्द्रीय कोण I
∴ चाप CA का केन्द्रीय कोण = 360°- ∠ AOC
= 360°- 120°
= 240°
अब चूँकि किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसके द्वारा शेष परिधि पर अंतरित कोण का दुगुना होता हैं I
∴ चाप CA का केन्द्रीय कोण = 2 x ∠ ABC
240° = 2 x ∠ ABC
∠ ABC = 240°2 = 120° उत्तर
Page No.:290
प्रश्न 7. आकृति में x का मान ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए कि AD II BC.
हल : चित्रानुसार, ∠ DBC = 50°
∠ OBC = 50°
तथा ∠ AOD = x
परन्तु ∠ AOD = ∠ OBC = x
[ शिर्षाभिमुख कोण है ]
अब ∵ DOB व AOC व्यास है I
∴ DB = AC
12 DB = 12 AC
OB = OC
∴ ∠ OCB = ∠ OBC ,
[त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण ]
∠ OCB = 50°
अब OAD में ,
OA = OD, (वृत की त्रिज्याएँ )
∴ ∠ D = ∠ A
∴ x + ∠ A + ∠ D = 180°
80° + ∠ D + ∠ D = 180° , (∵ ∠ A = ∠ D )
2 ∠D = 180° – 80°
∴ ∠D = 100°2 = 50°
अब, AD और BC दो रेखाओ को तिर्यक् रेखा DB काट रही है, तथा ∠D = ∠B (50°) परन्तु ये एकांतर कोण है I
अतः AD II BC सिद्ध हुआ I
Page No.:290
प्रश्न 8. आकृति में, O वृत का केंद्र तथा OD AB , यदि OD = 5 सेमी हो, तो AC का मान ज्ञात कीजिए I
हल : ∵ OD AB
∴ AD = DB
∵ BOC व्यास है
∴ ∠ BAC = 90°
[अर्धवृत का कोण है ]
CA AB
स्पष्ट है कि , OD II CA तथा D, AB का मध्यबिंदु है तथा O, BC का मध्यबिंदु है I
∴ OD = 12 x AC
5 = 12 x AC
AC = 5 x 2 = 10 सेमी. उत्तर
[त्रिभुज में किन्ही दो भुजाओं के मध्यबिंदुओ को मिलाने वाली रेखा, तीसरी भुजा के समान्तर व आधी होती है I] (थेल्स प्रमेय)
करके देखें –
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प्रश्न. किसी भी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए I वृत्त पर कोई चार बिंदु लेकर चतुर्भुज बनाइए I उनके सम्मुख कोणों की माप कर उनका योगफल ज्ञात कीजिए I
हल:
∠A= 75°, ∠B = 88°, ∠C = 105°, ∠D = 92°
∠A + ∠C = 75° + 105° = 180°
∠B + ∠D = 88° + 92°= 180°. उत्तर
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प्रश्न 1. दी गई आकृति में AB || CD, यदि ∠ DAB = 80° तो चतुर्भुज के शेष अंतःकोणों का मान ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है- AB || CD तथा ∠DAB = 80°
चित्रानुसार ロ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠ BCD + ∠ BAD = 180°
∠ BCD + 80° = 180°
∠ BCD = 180° – 80° = 100° ……….(1)
अब एक रेखा CE खींचा जो AB को E पर मिलती है और CE II AD I
अब ∠ CEB = ∠ DAB = 80°
[संगत कोण हैं I]
∵ ロ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है I [रचना से ]
∴ ∠ DCE = 80°
[समा. ロ के सम्मुख कोण है ]
∵ ∠ BCD = 100° [समी. 1 से ]
∠ BCE + ∠ ECD = 100°
∠ BCE + 80°= 100°
∠ BCE = 100° – 80° = 20° ……..(2)
अब BCE में,
∠ EBC + ∠ BCE + ∠ CEB = 180° [∵ त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग
∠ EBC + 20° + 80° = 180° 180° होता है I ]
∠ ABC = 180° – 100° = 80°
अब ∠ ABC+ ∠ ADC = 180°
[चक्रीय चतु. के सम्मुख कोण है ]
80° + ∠ ADC = 180°
∠ ADC = 180° – 80° = 100°
अतः शेष कोण ∠ ABC = 80°, ∠ ADC = 100°
तथा ∠ BCD = 100° उत्तर
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प्रश्न 2. दी गई आकृति में ∠ QRS तथा ∠ QTS ज्ञात कीजिए I
हल: ∵ वृत्त के किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उसके द्वारा शेष परिधि के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है I
∴ ∠ SOQ = 2 x ∠ SPQ
152° = 2 x ∠ SPQ
∠ SPQ = 152°2 = 76°
अब ∵ ロ PSTQ एक चक्रीय चतुर्भुज है I
∴ ∠ SPQ + ∠ STQ = 180°
76° + ∠ STQ = 180°
∠ STQ = 180° – 76°
∠ QTS = 104° उत्तर
परन्तु ∠ STQ व ∠ SRQ वृत्त के एक ही खण्ड में बने कोण है I
∴ ∠ SRQ = ∠ STQ
∠ SRQ = 104°
अतः ∠ QRS = ∠ QTS = 104° उत्तर
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प्रश्न 3. दी गई आकृति में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। जिसकी भुजा AB वृत्त का व्यास है। यदि ∠ ADC = 150° हो, तो ∠ BAC ज्ञात कीजिए।
हल: ∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है I
∴ ∠ABC+∠ADC=180°,
[ सम्मुख कोण A है I ]
∠ ABC + 150°= 180°
∠ ABC = 180°-150° = 30° …….(1)
∵ AOB वृत्त का व्यास है।
∴ ∠ ACB अर्द्धवृत का कोण होगा।
अतः ∠ ACB = 90°
अब BAC में, [∵ त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है ]
∠ BAC + ∠ ACB + ∠ ABC = 180°
∠ BAC + 90° + 30° = 180°
∠ BAC = 180°- 120°
∠ BAC = 60° उत्तर
Page No.:294
प्रश्न 4. दी गई आकृति में x का मान ज्ञात कीजिए I
हल : ∵ वृत्त के किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण, उसके द्वारा परिधि के शेष भाग में अंतरित कोण का दुगुना होता है।
∴ ∠ BOD = 2 x ∠ BAD
124° = 2 x ∠ BAD
∠ BAD = 124°2 = 62° …….(1)
अब ∵ ロ ABCD चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠ BAD + ∠BCD = 180°
[सम्मुख कोणों का योग]
62° + ∠BCD = 180°,
[समी. (1) से]
∠ BCD = 180°- 62°
∠ BCD = 118°
अब ∠BCD + x = 180°
[ रेखीय युग्म अभिगृहीत से]
118 + x = 180°
x = 180° – 118°
x = 62° उत्तर
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प्रश्न 5. एक वृत्त की दो समांतर जीवाएँ PQ और RS हैं तथा रेखाएँ RP और SQ बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं (देखिए आकृति) सिद्ध कीजिए कि MP = MQ.
हल : PQ II RS [ दिया है ]
बिंदु Q से QL II PR खींचे जो RS को बिंदु L पर मिलती है I
∴ ロ PRLQ एक समांतर चतुर्भुज है I
∴ ∠ 6 = ∠ 7 ………(1)
[समा. चतुर्भुज के सम्मुख कोण है]
परन्तु ∠ 5 + ∠ 6 = 180° ……. (2)
[ रेखिययुग्म अभि. से ]
तथा ∠ 7 + ∠ 2 = 180° ……. (3)
[ चक्रीय चतु. के सम्मुख कोण हैं ]
समी. (2), (3) व (4) से,
∠ 5 = ∠ 2 ……..(4)
∴ QL = QS ……..(5)
[ त्रिभुज में समान कोण की भुजाएँ हैं ]
परन्तु PR = QL ……..(6)
[समा. चतु. की सम्मुख भुजाएँ हैं ]
∴ समी. (5) व (6) से,
PR = QS ……….(7)
∵ ∠ 1 = ∠ 5 [संगत कोण हैं ] …….(8)
समी. (4) व (8) से,
∠ 1 = ∠ 2
MR = MS ……..(9)
[त्रिभुज में समान कोण की सम्मुख भुजाएँ है]
समी. (9) में समी. (7) घटाने पर,
MR – PR = MS -QS
MP = MQ सिद्ध हुआ I
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प्रश्न 6. दी गई आकृति में PQ अर्द्धवृत्त का व्यास है। यदि ∠ PQR = 60° तथा ∠SPR = 40° हो, तो ∠QPR और ∠PRS का मान ज्ञात कीजिए I
हल : दिया है – POQ = व्यास
∠ PQR = 60°
∵ POQ व्यास है I
∴ ∠ PRQ अर्धवृत का कोण होगा I
∠ PRQ = 90°
अब PRQ में ,
∠ PRQ + ∠RPQ + ∠ PQR = 180° [∵ त्रिभुज के अंतः कोणों का योग = 180° ]
90° + ∠RPQ + 60° = 180°
∠RPQ = 180° – 150°
∠RPQ = 30°
या ∠QPR = 30° उत्तर
अब ∠ PQR + ∠ PSR = 180°
[चक्रीय चतु. के सम्मुख कोण हैं ]
60° + ∠PSR = 180°
∠PSR = 180° – 60° = 120°
तथा PSR में ,
∠SPR + ∠PSR +∠PRS = 180° [∵ त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है ]
40° + 120° + ∠PRS = 180°
∠PRS = 180° – 160°
∠PRS = 20° उत्तर
Page No.:295
प्रश्न 7. दी गई आकृति में त्रिभुज ABC समबाहु त्रिभुज है I ∠ BDC और ∠BEC ज्ञात कीजिए I
हल : माना ロ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC व BD हैं जिस पर वृत का केंद्र स्थित है I
∵ वृत्त का प्रत्येक व्यास वृत को दो बराबर भागों में बांटता है तथा वृतार्ध का कोण समकोण होता हैं I
∴ व्यास AC द्वारा वृतार्ध ABC तथा ADC पर बनाया गया कोण
∠ ABC = ∠ ADC = 90° ……….(1)
इसी प्रकार BD द्वारा वृतार्ध BAD तथा BCD पर बनाया गया कोण
∠BAD = ∠ BCD = 90° ……….(2)
तथा AC व BD दोनों विकर्ण वृत के व्यास हैं I
AC = BD ……….(3)
अतः समी. (1) , (2) व (3) से चक्रीय चतुर्भुज ABCD
एक आयत है I सिद्ध हुआ I
Page No.:295
प्रश्न 8. आकृति में PQRS एक चतुर्भुज है I यदि ∠ P = ∠ QRY है तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज हैं I
हल : दिया है: ロ PQRS में ,
∠P = ∠ QRY ……..(1)
परन्तु ∠ QRS + ∠ QRY = 180°
(रेखीय युग्म अभि. से)
समी. (1) व (2) से,
∠ QRS + ∠P = 180°
∵ ロ PQRS में ∠ QRS व ∠P सम्मुख कोणों का एक युग्म हैं I
∴ ロ PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज हैं I सिद्ध हुआ I
Page No.:295
प्रश्न 9. यदि एक समलम्ब चतुर्भुज की असमान्तर भुजाएँ बराबर हो, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय चतुर्भुज होगा I
हल: माना कि समलम्ब ロ ABCD में ADII BC
तथा AD II BC
तब AB = DC (दिया है I)
एक रेखा DE खीचा जो कि BC भुजा को E पर मिलती है और DE II AB
∵ AB II DE (रचना से )
∴ AB = DE ……..(1)
परन्तु AB = DC …….(2)
समी. (1) व (2) से,
DE = DC
∠ DEC = ∠ DCE ……..(3)
∵ ロ ABED समांतर चतुर्भुज है I (रचना से)
∴ ∠ A = ∠ BED …….(4)
(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण है )
परन्तु ∠ BED + ∠ CED = 180°
(रेखीय युग्म अभि. से )
∠ A + ∠ DCE = 180°
[समी. (3) व (4) से]
∠ A + ∠ DCB = 180°
परन्तु ∠ A व ∠ DCB , ロ ABCD के सम्मुख कोण हैं I
∴ चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज हैं I सिद्ध हुआ I
सोचें एवं चर्चा करें –
Page No.:297
प्रश्न. वृत्त पर स्थित किसी बिंदु पर एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है I क्यों ?
हल: अन्य स्पर्श रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा नहीं होगी I वह वृत्त को प्रतिच्छेद करती हुई जाएगी I
करके देखें –
Page No.:297
प्रश्न. नीचे दी गई आकृति में अप्रतिच्छेदी रेखा, छेदक और स्पर्श रेखाओं को पहचान कर अपनी कॉपी में उनके नाम लिखिए I
उत्तर – अप्रतिच्छेदी रेखा – l, m, s
स्पर्श रेखा – n, r
छेदक रेखा – o, p, q
प्रतिच्छेदी रेखा और छेदक रेखा एक ही चीज है I अतः पाठ्यपुस्तक में गलत लिखा है कि प्रतिच्छेदी और छेदक को पहचानों I उसे अप्रतिच्छेदी रेखा लिखना था I
Page No.:305
प्रश्न 1. एक बिन्दु P से जो वृत्त के केन्द्र से 10 सेमी वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 8 सेमी है। वृत्त त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है: वृत्त के केन्द्र O से बाह्य बिन्दु P की दूरी OP = 10 सेमी,
स्पर्श रेखाखण्ड PT = 8 सेमी
वृत्त की त्रिज्या = OT
∵ OT PT
OTP = 90°
अत: समकोण OTP में पाइथागोरस प्रमेय से,
OP2 = OT2 + PT2
102 = OT2 + 82
100 = OT2 + 64
OT2 = 100-64 = 36
= 62
∴ अतः OT = 6. वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। उत्तर
Page No.:305
प्रश्न 2. आकृति में ∠ POQ = 100°, AP तथा AQ वृत की स्पर्श रेखाएँ हैं। ∠ PAO का मान ज्ञात कीजिए।
हल: दिया है: AP व AQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
तथा ∠ POQ = 100°
∵ बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाखण्ड बराबर होता है।
∴ PA = PQ
तथा स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्बवत् होती है।
∴ ∠ OPA = ∠ OQA = 90° …(1)
अतः ΔΟΡΑ ≌ ΔΟQΑ
(समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता)
∠ POA = ∠ QOA
∴ ∠ POA = ∠ POQ2 = 100°2 = 50° …..(2)
अब PAO में,
∠ PAO + ∠ POA+ ∠ OPA=180° [∵ त्रिभुज के अंतः कोणों का योग = 180° ]
(त्रिभुज के अन्त: कोण)
∠ PAO+ 50° + 90° = 180°
∠ PAO + 140° = 180°
∴ ∠ PAO = 180° – 140°
= 40°. उत्तर
Page No.:306
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।
हल: माना वृत्त का केन्द्र O, व्यास AOB तथा PAQ एवं RBS स्पर्श रेखाएँ हैं।
∵ स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लम्बवत् होती है।
∴ ∠ OAP = 90°
∠ BAP = 90° …….(1)
इसी प्रकार,
∠OBS = 90°
∠ ABS= 90° …….(2)
समी. (1) व (2) से,
∠ BAP =∠ ABS = 90°
परन्तु ∠ BAP व ∠ ABS एकांतर कोण भी हैं I
∴ =
अतः व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं I सिद्ध हुआ I
Page No.:306
प्रश्न 4. एक वृत्त, एक चतुर्भुज ABCD के चारों भुजाओं को स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए कि AB + CD = BC + DA.
हल: माना वृत्त का केन्द्र O तथा ロ ABCD के भुजाओं AB, BC, CD व DA को क्रमश: P,Q,R,S पर स्पर्श करती है I
∵ बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाखण्ड की लम्बाई समान होती हैं।
∴ बिन्दु A से AP = AS …….(1)
बिन्दु B से BP = BQ …….(2)
बिन्दु C से CR = CQ ……..(3)
बिन्दु D से DR=DS ……..(4)
समीकरण (1), (2), (3) एवं (4) को जोड़ने पर,
AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS +DS) + (BQ+CQ)
AB + CD = AD + BC
AB + CD = BC + DA सिद्ध हुआ I
Page No.:306
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड द्वारा केंद्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।
हल: माना वृत्त का केन्द्र O तथा बाह्य बिंदु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा AP व AQ है।
सिद्ध करना है: ∠ PAQ + ∠ POQ = 180°
उपपत्ति : ∵ स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्बवत होती है I
∴ ∠ OPA = 90°
तथा ∠ OQA = 90°
अब ロ PAQO में सभी अन्तः कोणों का योग 360° होता है I
∴ ∠ PAQ + ∠ AQO + ∠ QOP + ∠ OPA = 360°
(∠ PAQ + ∠ QOP) + (∠ AQO + ∠ OPA) = 360°
(∠ PAQ + ∠ QOP) + ( 90° + 90°) = 360°
∠ PAQ + ∠ QOP = 360° – 180°
∠ PAQ + ∠ QOP = 180°
या ∠ PAQ + ∠ POQ = 180°
अतः ∠ PAQ व ∠ POQ संपूरक है I उत्तर
Page No.:306
प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के दो समान्तर स्पर्श रेखाओं के बीच खींची गई एक अन्य स्पर्श रेखा का अन्तः खण्ड केन्द्र पर समकोण अन्तरित करता है।
हल : दिया है : केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ PQ II RS जो वृत को क्रमश: C व D पर स्पर्श करते हैं। तथा एक अन्य स्पर्श रेखा AB, PQ व RS को क्रमशः L व M पर काटती है, वृत्त को N पर स्पर्श करती है। O से क्रमश: C, D व N को मिलाया I
सिद्ध करना है: ∠ LOM = 90°
उपपत्ति : ∵ OC पर OD, स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्याएँ है तथा PQ II RS है।
(दिया है I)
∴ C.O.D समरेख है।
अतः ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180° ………(1) [∵ रेखीय युग्म कोण]
अब OCL व ONL में,
LC = LN
(बाह्य बिन्दु से खींची स्पर्श रेखाएँ )
LO = LO (उभयनिष्ठ भुजा है।)
OC = ON
(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
∴ OCL ≅ ONL
(भु. – भु. – भु. सर्वांगसमता)
∠ 1 = ∠ 2 …………..(2)
(स. त्रि. के सं. अवयव हैं)
इसी तरह, ONM और ODM से ONM ≅ ODM
∴ ∠ 3 = ∠ 4 ……….(3)
समी. (1), (2) व (3) से,
∠ 2 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 3 = 180°
2 ( ∠ 2 + ∠ 3) = 180°
(∵ ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ LOM )
∠ LOM = 90° सिद्ध हुआ I