Class 10 Maths
Chapter 13
ज्यामितीय रचनाएँ Geometric Compositions
करके देखें:-
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प्रश्न 1. उदाहरण – 2 में की गई रचना के चरण विस्तार से स्वयं लिखिए I
हल:
रचना के पद:
1. किरण खींची।
2. ∠A के शीर्ष को केंद्र मानकर एक चाप खींचा।
3. इसी चाप की त्रिज्या के तुल्य एक चाप O को केंद्र मानकर खींचा।
4. पहला चाप ∠A को जिन दो बिंदुओं पर काटता है, उन दोनों बिंदुओं के बीच के चाप के हिस्से की माप परकार द्वारा ली I
5. दूसरा चाप जहाँ प्रतिच्छेद करता है, उस बिन्दु को केन्द्र मानकर, पहले चाप
की माप के तुल्य त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो दूसरे चाप को बिन्दु L पर प्रतिच्छेद करता है।
इस प्रकार, ∠LON = ∠A प्राप्त हुआ।
6. इसी प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, OL को एक भुजा लेते हुए ∠MOL = ∠B की रचना की।
∴ ∠ MON =∠ MOL + ∠ LON
= ∠B + ∠A
= ∠A + ∠B
इस प्रकार, ∠MOL की माप ∠A और ∠B के योगफल के बराबर है।
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प्रश्न 2. 30° और 90° की माप के कोण बनाइए I बताइए यह कैसे बनाया ? हल:
रचना के पद – 1. सर्वप्रथम किरण खींची।
2. बिन्दु O पर एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा OC खींचा |
अत: ∠COA = 90°.
3. बिन्दु O को केंद्र मानकर किसी भी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो को बिन्दु
M पर प्रतिच्छेद करता है।
4. M को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक और चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु N पर प्रतिच्छेद करता है।
5. ON को मिलाती हुई किरण खींची।
∴ ∠BOA = 60°
अतः ∠BOC = ∠COA – ∠BOA
= 90°- 60°
= 30°.
Page No.:312
प्रश्न 3. भुजा की कोई भी माप लेते हुए एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए I हल:
रचना के पद:- 1. किसी भी माप का एक रेखाखण्ड AB खींचा।
2. AB के तुल्य त्रिज्या लेकर A और B से क्रमश: दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. AC और BC को मिलाया। ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
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प्रश्न 4. एक न्यून कोण बनाइए और एक ऐसे कोण की रचना कीजिए जिसका मान पहले बनाए गए न्यूनकोण के मान से दुगुना हो।
हल:
रचना के पद : 1. एक न्यूनकोण ∠BOA बनाया।
2. अब OB को एक भुजा लेते हुए, ∠AOB के तुल्य एक न्यूनकोण ∠COB की रचना की।
अतः ∠COA, पहले न्यूनकोण ∠BOA का दुगुना है।
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प्रश्न 1. कॉंपी पर ‘a’ और ‘b’ दो रेखाखंडो बनायें I अब निर्देशानुसार रेखाखण्ड की रचना करें – (a) a + b , (b) b – a , (c) 2b + a, (d) 3a – b.
हल : (a)
रचना के पद –
(i) एक रेखा l खींची I (ii) रेखा l पर एक बिंदु A लिया I (iii) A को केंद्र मानकर, रेखाखण्ड a के समान त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को बिंदु B पर प्रतिच्छेद करता है I
(iv) अब B को केंद्र मानकर रेखाखण्ड b के तुल्य त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है I
(v) तीनों बिंदु A, B और C एक ही रेखा पर उपस्थित है I
अतः, रेखाखण्ड AC = a + b होगा I
(b)
रचना के पद –
(i) एक रेखा l खींची I (ii) रेखा l पर एक बिंदु A लिया I (iii) A को केंद्र मानकर, रेखाखण्ड b के समान त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को बिंदु B पर प्रतिच्छेद करता है I अतः AB = b. (iv) अब बिंदु A को केंद्र मानकर रेखाखण्ड a के समान त्रिज्या लेकर चाप खींचा जो l को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है I
ஃ AC = a.
अतः, CB = b – a.
(c)
रचना के पद –
(i) एक रेखा l खींची I (ii) रेखा l पर एक बिंदु A लिया I (iii) बिंदु A को केंद्र मानकर, रेखाखण्ड b के समान त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को बिंदु B पर प्रतिच्छेद करता है I (iv) अब B को केंद्र मानकर पुनः उसी त्रिज्या का चाप खींचा जो l को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है I
ஃ AC = 2b. (v) अब C को केंद्र मानकर रेखाखण्ड a के तुल्य त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है I
ஃ CD = a.
अतः, AD = 2b + a.
(d)
(i) एक रेखा l खींची I (ii) रेखा l पर एक बिंदु A लिया I (iii) बिंदु A को केंद्र मानकर, रेखाखण्ड a के समान त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को बिंदु B पर प्रतिच्छेद करता है I
(iv) अब B को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो l को C पर काटता है तथा C को केंद्र मानकर पुनः उसी त्रिज्या का चाप खींचा जो l को D पर प्रतिच्छेद करता है I
अतः, AD = 3a
(v) अब A को केंद्र मानकर रेखाखण्ड b के तुल्य त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को E पर प्रतिच्छेद करता है I
ஃ ED = 3a – b होगा I
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प्रश्न 2. परकार और रूलर की सहायता से इन मापों के कोण बनायें-
15° , 45° , 105° , 75°.
हल- (1) 15°
रचना के पद – (i) परकार और रूलर की सहायता से ∠ CAB = 60° बनाया I (ii) इस कोण का समद्विभाजक AD खींचा I
अतः ∠ DAB = 30°
(iii) ∠ DAB का समद्विभाजक AE खींचा I
ஃ ∠ EAB = 15° उत्तर
(2) 45°
रचना के पद – (i) एक किरण l खींचकर उस पर एक बिंदु A लिया I
(ii) A पर एक लम्ब AB खींचा I
ஃ ∠ BAD = 90°
(iii) ∠ BAD का समद्विभाजक AC खींचा I
ஃ चित्रानुसार , ∠ CAD = 45° उत्तर
(iii) 105°
105° = 90°+ 15°
रचना के पद – (i) एक किरण खींची I
(ii) बिंदु A पर के लम्ब रेखा खींची I
ஃஃ ∠ CAB = 90°
(iii) परकार और रूलर की सहायता से
∠ BAE = 60° + 60° =120° बनाया I
(iv) ∠ CAE का समद्विभाजक AD खींचा I
(120-902 = 302 = 15°)
∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD
90°+ 15° = 105° उत्तर
(iv) 75°
75° = 60°+ 15°
रचना के पद – (i) एक किरण खींची I
(ii) इस पर परकार की मदद से 60° का कोण बनाया I अतः ∠ CAB = 60° .
(iii) बिंदु A पर के लम्ब रेखा AD खींची I
(iv) ∠ CAD का समद्विभाजक AE खींची I
(v) ( ∠ CAE = 90-602 = 302 = 15° )
∠ BAE = ∠ BAC + ∠ CAE
= 60°+ 15° = 75°
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प्रश्न 3. दो कोणों X° (अधिक कोण ) और Y° (न्यूनकोण) माप के दो कोण दिए हैं-
निम्नलिखित मापों के कोण बनाये –
- X° – Y° , (b) X° + Y° , (c) (180 – X)° , (d) 2Y°.
हल – (a) X° – Y°
रचना के पद – (i) दिए गए कोण X° के सर्वान्गसम कोण ∠ CAB = X° बनाया I
(ii) को आधार मानते हुए दिए गए कोण Y° के सर्वान्ग्सम एक कोण ∠ BAD =
Y° बनाया I
अतः ∠ CAD = X° – Y° अभीष्ट कोण होगा I
(b) X° + Y°
रचना के पद – (i) दिए गए कोण X° के सर्वांगसम कोण ∠ CAB = X° बनाया I
(ii) को आधार मानते हुए दिए गए कोण Y° के सर्वांगसम कोण ∠ DAC = Y°
बनाया I
अतः ∠ DAB = ∠ CAB + ∠ DAC
= X° + Y°. उत्तर
(c) (180 – X)°
रचना के पद – (i) एक रेखा l खींची I
(ii) इस पर एक बिंदु A लेकर दिए गए कोण X° के सर्वांगसम कोण ∠BAC = X° बनाया I
ஃ चित्रानुसार ∠ CAD = (180 – X)° होगा I
(d) 2Y°
रचना के चरण – (i) दिए गए कोण Y° के समतुल्य कोण ∠ CAB = Y° बनाया I
(ii) AC को आधार मानते हुए पुनः Y° के सर्वांगसम कोण ∠ DAC = Y° बनाया I
ஃ ∠ DAB = 2Y° होगा I
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प्रश्न 4. आपको तीन निश्चित मापों ‘r’ , ‘s’ और ‘t’ के रेखाखण्ड दिए गए हैं I
(a) क्या इन रेखाखंडो से त्रिभुज की रचना संभव है ? यदि हाँ तो त्रिभुज बनायें I
हल –
त्रिभुज की रचना संभव है I
रचना के पद – (i) एक रेखा खींचकर उस पर एक बिंदु A लिया I
(ii) s के समतुल्य रेखाखण्ड AB की रचना की I
(iii) A को केंद्र मानकर तथा r के समान त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा I (iv) B को केंद्र मानकर तथा t के समान त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा I (v) दोनों चाप बिंदु C पर प्रतिच्छेद करते है I AC तथा BC को मिलाया I
ABC अभीष्ट त्रिभुज है I
Page No.:315 (b) क्या s, t तथा r + t से त्रिभुज बन पायेगा ?
हल – हाँ , क्योकि (r + t) + s > t .
Page No.:315
प्रश्न 5. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए I अब शीर्ष A से भुजा BC के समांतर एक रेखा की रचना कीजिए I शीर्ष A पर बने कोणों का योग और त्रिभुज के सभी कोणों के योग की जाँच कीजिए I
हल –
रचना के पद – (i) एक रेखा XY खींचकर उसमे दो बिंदु A व B लिया I
(ii) एक ABC निर्मित किया I
(iii) ∠ CBY के तुल्य एक कोण ∠ DAB बिंदु A पर बनाया, तब AD II BC होगी I
शीर्ष A पर बने कोणों का योग
= ∠ DAX + ∠ DAC + ∠ CAB
= 180° , (एक ही रेखा पर, एक बिंदु पर बने कोण )
ABC के सभी कोणों का योग
= ∠ CAB + ∠ABC + ∠ ACB
= 180° , ( ABC के तीनो कोणों का योग )
अतः दोनों योगफल समान हैं I
करके देखें –
Page No.:322
प्रश्न 1. 5.8 सेमी का रेखाखण्ड AB खींचिए और उस पर बिन्दु C इस प्रकार लीजिए कि AC: CB = 3: 4 हो I जाँचिए कि AC: CB = 3 : 4 है या नहीं।
हल: AC : CB = 3 : 4
ஃ AC = 3 भाग, CB = 4 भाग
अतः AB = 3 + 4 = 7 भाग
रचना के पद : 1. AB = 5.8 सेमी का रेखाखण्ड खींचा I
2. बिन्दु A से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण खींची।
3. AX पर 7 बराबर चाप काटे। चित्रानुसार
AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A7.
4. अब A7 को B से मिलाया।
5. A3 से A7 B के समांतर एक रेखा खींची जो AB को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करती है।
इस प्रकार AC : CB = 3:4
जाँच- ∵ AA7B में A3C II A7B
ஃ AA3A3A7 = ACCB (थेल्स के प्रमेय से)
34 = ACCB (रचना से )
AC : CB = 3: 4.
Page No.:322
प्रश्न 2. एक रेखाखण्ड की रचना कीजिए जो किसी रेखाखण्ड का 7 5 गुना हो। हल:
रचना – 1. एक रेखाखण्ड AB खींचा ।
2. बिन्दु A से न्यून कोण बनाती हुई एक किरण खींची तथा AB को X तक आगे बढ़ाया I
3. AY पर 7 बराबर चाप काटे और उन्हें A1, A2, A3, A4, A5, A6 तथा A7 नाम दिए I
4. अब A5 को B से मिलाया।
5. A7 से A5 B के समानांतर रेखा खींची जो AX को C पर मिलाती है I
∵ बिंदु C, AB पर इस प्रकार है, कि ACAB = 75
∴ रेखाखण्ड AC, AB का 75 गुना होगा I
Page No.:322
प्रश्न 3. एक त्रिभुज PQR बनाइए जिसमें QR = 6 सेमी, PQ= 5 सेमी. और ∠PQR = 60° हो। इस त्रिभुज के समरूप एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें AB = 25 PQ हो ।
हल: रचना के पद- ABC ~ PQR की रचना करना जिसमें ∠PQR = 60°, QR = 6 सेमी, PQ = 5 सेमी तथा AB = 25 PQ
रचना के चरण- (i) PQR की रचना किया जिसमें QR= 6 सेमी, PQ= 5 सेमी और ∠PQR = 60° है।
(ii) बिन्दु Q से किरण QY खींचे जिसमें पांच बराबर चाप काटे जो क्रमशः Q1, Q2, Q3, Q4 व Q5 हैं तथा QQ1= Q1 Q2 = Q2Q3 = Q3Q4 = Q4Q5
(iii) Q5R को मिलाया तथा Q2 से Q2L II Q5R खींचे जो QR को L पर प्रतिच्छेद करती है। (iv) बिन्दु L से LM || RP खींचे जो QP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करती है। (v) किरण AZ खींचे जिसमें बिन्दु C इस प्रकार लिए ताकि AC = QL हो ।
(vi) बिन्दु C को केन्द्र व LM त्रिज्या का एक अन्य चाप बनाया जो पहले चाप को बिंदु B पर काटती है। (viii) B को A व C मिलाया I
रचित ABC अभीष्ट त्रिभुज है I
जहाँ ABC ~ PQR तथा AB = 25 PQ है I
Page No.:322
प्रश्न 4. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 5.5 सेमी., ∠ABC = 75° और ∠ACB = 45° हो। इस त्रिभुज के समरूप एक त्रिभुज XYZ बनाइए जिसमें YZ = 54BC हो ।
हल: रचना – XYZ ~ ABC की रचना करना है जहाँ YZ = 54BC हो।
रचना के चरण- (i) ABC बनाया जिसमें BC = 5.5 सेमी, ∠ABC = 75° तथा ∠ACB = 45° है।
(ii) बिन्दु B से BC व BA को आगे बढ़ाकर किरण BP व BQ खींचे तथा किरण BR इस प्रकार खींचे ताकि ∠CBR = न्यून कोण हो ।
(iii) किरण BR पर पाँच बराबर चाप काटे जो B1, B2,B3,B4 व B5 हैं तथा BB1= B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 है I
(iv) B4 को C से मिलाया तथा B5 से B5L II B4C खींचे जो किरण BP को बिन्दु L पर प्रतिच्छेद करती है।
(v) बिन्दु L से LM II CA खींचे जो किरण BQ को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करती है।
(vi) किरण YS खींचे जिसमें बिन्दु Z इस प्रकार लिए ताकि YZ = BL हो।
(vii) बिन्दु Z को केन्द्र मानकर व BM माप की त्रिज्या का एक चाप बनाया।
(viii) बिन्दु Z को केन्द्र मानकर तथा LM माप की त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप बनाया जो पहले चाप को बिन्दु X पर काटती है।
(ix) बिन्दु X को बिन्दु Y व Z से मिलाया।
रचित XYZ ~ ABC अभीष्ट त्रिभुज है जहाँ YZ = 54 BC हैं I
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प्रश्न 1. एक समरूप त्रिभुज की रचना कीजिए जो कि दिए गए त्रिभुज का 35 गुना हो I
हल – रचना के पद – (i) एक त्रिभुज ABC की रचना की I
(ii) बिंदु B से A के दूसरी ओर एक न्यूनकोण बनाते हुए एक किरण खींची I
(iii) अब पर 5 बराबर चाप काटे I जो उन्हें B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 पर
प्रतिच्छेद करते है I I
(iv) बिंदु B 5 को C से मिलाया I
(v) B 3 से B 5 C के सामानांतर रेखा खींची जो BC को P पर प्रतिच्छेद करती हैं I
(vi) अब P से AC के सामानांतर रेखा खींची जो AB को Q पर प्रतिच्छेद करती हैं I
अतः QBP अभीष्ट त्रिभुज हैं I
Page No.:322
प्रश्न 2. एक समबाहु त्रिभुज PQR की रचना कीजिए I साथ ही एक और त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें PQ = 34AB हो I
हल- ABC में , PQ = 34AB AB = 43 PQ
रचना के पद – (i) एक समबाहु त्रिभुज PQR की रचना की I
(ii) P से R की दूसरी ओर एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण खींची I
(iii) पर समान लम्बाई के 4 चाप काटे जिनके प्रतिच्छेद बिंदु P 1 , P 2 , P 3 ,
तथा P 4 हैं I
(iv) बिंदु P 3 को Q से मिलाया I (v) P 4 से P 3 Q के समानांतर रेखा खींची जो बढाई गई PQ को S पर प्रतिच्छेद करती हैं I
(vi) S से QR के समानांतर रेखा खींची जो बढ़ाई गई PR को T पर प्रतिच्छेद करती हैं I
TPS में PQ = 34 PS या PS = 43 PQ हैं I
(vii) अब TPS के सर्वांगसम ABC की रचना की I
अतः ABC अभीष्ट त्रिभुज है I
Page No.:322
प्रश्न 3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए I साथ ही एक और त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 23 PQ हो I
हल –
रचना के पद – (i) एक PQR की रचना की I
(ii) Q से P की दूसरी ओर न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण QX खींची I
(iii) पर समान लम्बाई के 3 चाप काटे जो उसे बिंदु Q 1 , Q 2 तथा Q 3 पर
प्रतिच्छेद करते है I (iv) बिंदु Q 3 को R से मिलाया I (v) बिंदु Q 2 से Q 3 R के समानांतर रेखा खींची जो QR को S पर प्रतिच्छेद करती हैं I
(vi) S से RP के समानांतर एक रेखा खींची जो PQ को T पर प्रतिछेद करती हैं I
अतः TQS एक ऐसा त्रिभुज हैं जिसकी भुजाएँ PQR की भुजाओं की 23 हैं I
(vii) TQS के सर्वांगसम एक त्रिभुज ABC की रचना की I
अतः ABC अभीष्ट त्रिभुज है I
Page No.:322
प्रश्न 4. दो समरूप त्रिभुजो की रचना कीजिए I एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज का 43 गुना हो I
हल – रचना के पद – (i) एक त्रिभुज ABC की रचना की I
(ii) B से A के दूसरी ओर एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण खींची I
(iii) पर समान लम्बाई के 4 चाप खींचे जो उसे बिन्दुओ B 1 , B 2 , B 3 तथा
B 4 पर प्रतिच्छेद करते हैं I
(iv) B 3 को C से मिलाया I
(v) B 4 से B 3 C के समानांतर रेखा खींची जो बढाई गई BC को D पर प्रतिच्छेद करती हैं I
(vi) D से AC के समानांतर रेखा DE खींची जो बढ़ाई गई BA को E पर प्रतिछेद करती हैं I
प्राप्त EBD पहले त्रिभुज , ABC का 43 गुना हैं I
करके देखें-
Page No.:327, chapter – 3
प्रश्न 1. अंतः वृत्त और परिवृत्त की रचना कीजिए, जब त्रिभुज ABC में
(i) AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी और ∠B = 90° साथ ही अन्तः वृत्त और परिवृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: परिवृत्त –
रचना- 1. ABC की रचना की, जिसमें AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी, ∠B = 90°.
2. भुजा AB और BC के लम्ब समद्विभाजक खींचे, जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. O को केंद्र मानकर OA = OB = OC के तुल्य त्रिज्या लेकर अभीष्ट परिगत वृत्त की रचना की।
परिवृत्त की त्रिज्या OA = OB = OC = 2.5 सेमी I
अंतः वृत्त-
रचना :- 1. ABC की रचना की, जिसमें AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी, ∠B = 90°.
2. ∠A तथा ∠C के कोण समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. O से भुजा BC पर लम्ब OM डाला।
4. O को केंद्र और OM त्रिज्या लेकर अभीष्ट अन्तः वृत्त की रचना कीजिए।
Page No.:327
(ii) AB = BC = CA = 6 सेमी अंतः केंद्र और परिकेन्द्र कहाँ स्थित है ?
हल:
इस स्थिति में अन्तः केंद्र और परिकेन्द्र दोनों एक ही बिन्दु पर स्थित है। उत्तर
Page No.:327
(iii) BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105° अंतः केंद्र और परिकेन्द्र कहाँ स्थित है ?
हल: ∠B = 45°, ∠A = 105°
∴ ∠C = 180° – (45 +105) °
=180°-150°= 30°
यहाँ अन्त: वृत्त का केन्द्र P2, त्रिभुज के ऊपर है जबकि परिवृत्त का केन्द्र P1, त्रिभुज के बाहर है I उत्तर
Page No.:327
प्रश्न 1. निर्देशानुसार रचना करें –
(i) रेखा l पर स्थित बिंदु p पर लम्ब खींचे I
हल –
रचना के पद – (i) बिंदु P को केंद्र मानकर एक चाप खींचा जो रेखा l को बिन्दुओ P 1 तथा P 2 पर प्रतिच्छेद करता हैं I
(ii) P 1 और P 2 को केंद्र मानकर समान त्रिज्या के चाप खींचे जो पूर्व चाप को P 3 और P 4 पर प्रतिच्छेद करते हैं I
(iii) अब P 3 और P 4 को केंद्र मानकर सामान त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर Q पर प्रतिच्छेद करते हैं I
(iv) P को Q से मिलाया जो कि अभीष्ट लम्ब हैं I
Page No.:327
(ii) बिन्दु S से रेखा l पर लम्ब खींचे I
हल-
रचना के पद – (i) बिंदु S से एक चाप खींचा जो l को बिंदुओं S 1 तथा S 2 पर प्रतिच्छेद करता हैंI
(ii) S 1 तथा S 2 को केंद्र मानकर समान त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं I
(iii) S को P से मिलाया जो कि l पर लम्ब हैं I
Page No.:327
(iii) रेखाखण्ड JK का लम्ब समद्विभाजक बनायें I
हल-
रचना के पद – (i) बिंदु J को केंद्र मानकर रेखाखण्ड JK के आधे से अधिक माप की त्रिज्या लेकर JK के दोनों ओर चाप खींचे I
(ii) अब बिंदु K को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या के चाप पहले की तरह खींचे I
(iii) JK के दोनों ओर चापों के दो प्रतिच्छेद बिंदु P और Q प्राप्त हुए I इन्हें मिलाया I
अतः PQ ही अभीष्ट लम्ब समद्विभाजक हैं I
Page No.:327
(iv) बिंदु T से होती हुई रेखा जो l के समानांतर हो , खींचे I
हल-
रचना के पद – (i) दिए गये रेखा पर एक बिंदु R लिया I
(ii) R और T को मिलाया I
(iii) बिंदु T पर ∠ TRM के समान कोण ∠ NTS बनाया I
(iv) ST को मिलाया I रेखा ST , रेखा l के समानांतर रेखा हैं I
Page No.:327
(v) बिंदु F से होती हुई रेखा जो ED के समानांतर हो , खींचे I
हल-
रचना के पद – (i) बिंदु F पर ∠ DEF के समान कोण ∠ GFH बनाया I रेखा GF , रेखा ED के समानांतर होगी I
Page No.:328
(vi) बिन्दु G से रेखा HJ पर लम्ब डाले I
हल-
रचना के पद – (i) HJ को J से आगे की ओंर आगे बढ़ाया I
(ii) G से एक चाप खींचे जो बढ़ाई गई HJ को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है I
(iii) इन बिंदुओं से समान त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिंदु T पर प्रतिच्छेद करते हैं I
(iv) GT को मिलाया I , HJ पर लम्ब हैं I
Page No.:328
प्रश्न 2. आपको दो रेखाखण्ड AB = a और RS = b दिए गए हैं –
अब निर्देशानुसार रचना करें –
(1) ‘a’ और ‘b’ भुजा का आयत बनाये I
हल-
रचना के पद – (i) एक रेखा l खींची I (ii) इस पर एक बिंदु M लिया I (iii) M से AB = a त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को N पर प्रतिछेद करता हैं I
ஃ MN = AB =a
(iv) बिंदु M पर l के लम्बवत एक रेखा खींची I
(v) M को केंद्र मानकर RS = b त्रिज्या लेकर चाप खींचा जो लम्ब को Q पर प्रतिच्छेद करता हैं I
(vi) Q से a त्रिज्या का और N से b त्रिज्या का चाप खींचा I दोनों चाप P पर प्रतिच्छेद करते हैं I
(vii) PQ और PN को मिलाया I
अतः MNPQ अभीष्ट आयत हैं I
Page No.:328
(2) 4b परिमाप का वर्ग बनायें I
हल- वर्ग का परिमाप 4b हैं I अतः उसकी प्रत्येक भुजा b लम्बाई की होगी I
रचना के पद – (i) एक रेखा l खींची I
(ii) इस पर एक बिंदु J लिया I
(iii) J से RS = b त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो l को K पर प्रतिच्छेद करता हैं I
(iv) J पर l के लम्ब एक रेखा खींची I
(v) J से b त्रिज्या का एक चाप खींचा जो लम्ब को M पर प्रतिच्छेद करता हैं I
(vi) अब, M तथा K से b त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर L पर प्रतिच्छेद करते हैं I
(vii) ML और KL को मिलाया I JKLM अभीष्ट वर्ग हैं I
Page No.:328
(3) a कर्ण का वर्ग बनाये I
हल- वर्ग के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित होते हैं I
रचना के पद – (i) a के तुल्य लम्बाई का रेखाखण्ड PQ खींचा। (ii) PQ का लम्बार्द्धक खींचा जो उसे O पर प्रतिच्छेद करता है। (iii) O से OP = a2 त्रिज्या के दो चाप O की दोनों ओर खींचे जो लम्ब समद्विभाजक को M तथा N बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। (iv) PM, MQ, PN तथा NQ को मिलाया। PMQN अभीष्ट वर्ग है।
Page No.:328
(4) समांतर चतुर्भुज जिसकी भुजा a और b हो और इनके बीच का कोण हो। हल –
रचना के पद –
(1) एक किरण खींची।
(2) A को केन्द्र मानकर a के तुल्य त्रिज्या लेकर पर एक चाप काटा जो उसे बिन्दु B पर प्रतिच्छेद करता है।
ஃ AB = a
(3) बिंदु B पर Q = 60° का कोण बनाते हुए एक किरण खींचा I
(4) इस किरण पर B से b के तुल्य त्रिज्या का एक चाप काटा जो किरण को C पर प्रतिच्छेद करता है। (5) अब A से b त्रिज्या का तथा C से a त्रिज्या का चाप खींचा। ये चाप परस्पर बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करते है I
ロ ABCD दी गई माप AB = a तथा RS = b का अभीष्ट समांतर चतुर्भुज है।
यहाँ, के विभिन्न मापों के लिए ऐसे विभिन्न समांतर चतुर्भुज प्राप्त किए जा सकते हैं, जिनकी आसन्न भुजाओं की माप a और b हों।
Page No.:328
प्रश्न 3. एक समकोण त्रिभुज पर परिवृत्त की रचना कीजिए। रचे गए वृत्त की त्रिज्या का मान बताइए। हल- रचना के पद- (i) समकोण त्रिभुज JMA की रचना की I (ii) त्रिभुज की भुजाओं MA तथा JA के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं I (iii) O को केन्द्र मानकर तथा OA = OM = OJ के तुल्य त्रिज्या लेकर अभीष्ट परिवृत्त की रचना की I परिवृत्त की त्रिज्या का माप होगा, OA = OM = OJ = 2.6 सेमी I
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प्रश्न 4. एक समकोण त्रिभुज पर अन्तः वृत की रचना कीजिए I रचे गए वृत की त्रिज्या का मान बताइए I हल-
रचना के चरण- (i) एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना की। (ii) ∠ A तथा ∠ B के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (iii) O से भुजा AB को M पर प्रतिच्छेद करते हुए एक लम्ब खींचा I (iv) O को केन्द्र तथा OM को त्रिज्या लेकर अभीष्ट अंत:वृत्त की रचना की। अंत: वृत्त की त्रिज्या OM = 1.8 सेमी।
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प्रश्न 5. एक समबाहु त्रिभुज पर अन्तःवृत्त और परिवृत्त की रचना कीजिए। अब अन्तः केन्द्र और परिकेन्द्र निकालिए। क्या दोनों एक ही जगह पर स्थित है ?
हल- रचना के पद- (i) एक समबाहु त्रिभुज PQR की रचना की।
(ii) भुजाओं PQ और RQ के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु S पर प्रतिच्छेद करते हैं। (iii) S को केन्द्र मानकर तथा SQ त्रिन्या लेकर एक परिवृत्त की रचना की। (iv) ∠ P तथा ∠ Q के समद्विभाजक (अर्द्धक) खींचे जो परस्पर बिंदु S पर प्रतिच्छेद करते हैं I (v) PQ का लम्ब समद्विभाजक उसे T पर प्रतिच्छेद करता हैं I S को केंद्र तथा ST त्रिज्या लेकर अभीष्ट अन्तः वृत की रचना की I स्पष्ट है कि परिकेंद्र और अन्तः केंद्र दोनों एक ही बिंदु S पर स्थित हैं I
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प्रश्न 6. कोई तीन असंरेख (non-collinear points) बिन्दु लीजिए और उनसे गुजरने वाले एक वृत्त की रचना कीजिए।
हल – रचना के पद- (i) A, B और C तीन असंरेख बिंदु लिए। (ii) AB, BC और AC को मिलाकर एक त्रिभुज ABC निर्मित किया। (iii) भुजाओं BC और AC के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दुO पर प्रतिच्छेद करते हैं। (iv) O को केन्द्र तथा OC को त्रिज्या लेकर एक वृत्त की रचना की। यही वह वृत है जो असंरेख बिन्दुओं A, B, C से होकर जाती है।
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प्रश्न 7. मोहन अपनी शाला के वृत्ताकार मैदान के केन्द्र पर झण्डा फहराना चाहता है। मैदान में किस जगह झण्डे के लिए खम्भा गढ़ाया जाए, यह पता लगाने के लिए उसे जोया और राहुल की सहायता लेनी पड़ी। सोचिए तीनों ने मिलकर खम्भे के लिए जगह कैसे ढूँढी होगी ?
हल – मोहन ने जोया और राहुल को वृत्ताकार मैदान की परिधि पर स्थित दो बिन्दुओं A तथा B पर खड़ा किया और स्वयं परिधि के बिन्दु C पर खड़ा हुआ। फिर इन तीनों बिन्दुओं को मिलाकर एक त्रिभुज ABC बनाया गया। मोहन ने जोया को BC का मध्य बिन्दु P तथा राहुल को AC का मध्य बिन्दु Q चिह्नांकित करने के लिए कहा। तत्पश्चात् P और Q पर एक-एक लम्ब रेखायें खींची गई जो कि BC और AC के लम्ब समद्विभाजक हुए। ये दोनों रेखायें परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद कर रही थीं। यही वृत्ताकार मैदान का केंद्र था जिस पर झण्डे के लिए खंभा गड़ाया गया I
