Class 10 Maths
Chapter 6
निर्देशांक ज्यामितिCoordinate Geometry
करके देखें:-
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प्रश्न 1. नीचे कुछ बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं I ये किस – किस चतुर्थांश में स्थित हैं ? प्रत्येक को निर्देशांक समतल पर प्रदर्शित कीजिए –
(i) (5, 7) (ii) (-2, 5) (iii) (2, -2) (iv) (-4, -5)
हल: (i) (5, 7) प्रथम चतुर्थांश, (ii) (-2, 5) द्वितीय चतुर्थांश, (iii) (2, -2) चतुर्थ चतुर्थांश, (-4, -5) तृतीय चतुर्थांश I
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प्रश्न 2. कोई भी 5 और निर्देशांक जोड़े लिखें I उन्हें उनके चतुर्थांशों पर उपयुक्त स्थान पर प्रदर्शित करें I हल: (3, 2), (4, 3), (-4, 0), (-3, -2), (-3, 4), (1, -4)
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1. बिन्दुओं B(0, 4), C(-4, 0) और D(0, -2) को निर्देशांक समतल पर दर्शाइए I
2. तीन ऐसे अलग – अलग बिन्दुओं के निर्देशांक लिखें जो X – अक्ष पर हैं I 3. इसी तरह Y – अक्ष पर स्थित तीन अलग – अलग बिन्दुओं के निर्देशांक लिखिए I
2. (5, 0), (2, 0), (-3, 0),
3. (0, 2), (0, -3), (0, 6).
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प्रश्न 1. नीचे कुछ बिन्दुओं के निर्देशांक दिये गये हैं उन्हें निर्देशांक समतल पर प्रदर्शित कर बताइए कि बिन्दु किस चुतर्थांश में है ?
(a) (3, 4)
(b) (–5, 6)
(c) (-2, -1)
(d) (2.5, –7).
उत्तर – (a) प्रथम,
(c) तृतीय,
(d) चतुर्थ ।
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प्रश्न 2. निम्नलिखित बिन्दुओं के निर्देशांक के आधार पर बताइए कि बिंदु किस अक्ष पर स्थित है ?
(a) (0, 5)
(b) (–6, 0)
(c) (–3, 0)
(d) (0, −3.5).
उत्तर- (a) Y-अक्ष, (b) ऋणात्मक X – अक्ष, (c) ऋणात्मक X – अक्ष, (d) ऋणात्मक Y-अक्ष।
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प्रश्न 3. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
1. बिंदु P(-4,-7)…………. चतुर्थांश में स्थित है।
2. X-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु का y-निर्देशांक ……….होता है।
3. निर्देशांक समतल पर दोनों अक्ष परस्पर ………. होते हैं
4. Y – अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु का x – निर्देशांक …………… होता है।
5. मूलबिन्दु के निर्देशांक ………. होते हैं ।
उत्तर – 1. तृतीय, 2. शून्य, 3. लम्बवत्, 4. शून्य, 5. (0,0).
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प्रश्न 4. आलेख में प्रदर्शित बिन्दुओं की स्थितियों का अवलोकन कर निम्नलिखित निर्देशों के अनुसार कार्य कीजिए –
(a) ऐसे बिन्दुओं को लिखिए जिनके x -निर्देशांक समान है।
(b) ऐसे बिन्दुओं को लिखिए जिनके y-निर्देशांक समान है। (c) ऐसे बिन्दुओं को लिखिए जिनके x-निर्देशांक और y-निर्देशांक समान है।
उत्तर- (a) B (3,6), D(3,3),P(3, -2) और G(-5,5), R(-5, -5).
(b) C(5,5), G(-5, 5) और P(3, -2), Q (–2, -2) तथा R (-5, –5) व S ( 5, -5), E(-4,6) व B(3,6)
(c) C (5, 5), R (-5,-5) तथा D (3, 3), Q (-2,-2)
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करके देखें –
इन बिंदुओं के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए –
(i) (5, 8) और (5, -3), (ii) (2, 3) और (2, 7).
हल: (i) (5, 8) और (5, -3)
चूँकि दोनों बिन्दुओं के x – निर्देशांक समान हैं, अतः दोनों के बीच की दूरी = उनके y- निर्देशांको का अंतर
= 8 – (-3)
= 8 + 3 = 11 इकाई I उत्तर
(ii) (2, 3) और (2, 7)
चूँकि दोनों के x – निर्देशांक समान हैं, अतः उनके बीच की दूरी = उनके y – निर्देशांको का अंतर = 7- 3
= 4 इकाई I उत्तर
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प्रश्न 1. दिए गए आलेख में बिंदु P की Q व R से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: आलेख से, P के निर्देशांक ( 2, 0)
Q के निर्देशांक (-1, 3)
R के निर्देशांक ( 3, 2)
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प्रश्न 2. आलेख को देखकर AC, AB व BC का मान ज्ञात कीजिए।
हल: आलेख से, A के निर्देशांक (3, -2)
B के निर्देशांक (6, – 2)
C के निर्देशांक (3, -4)
AC = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
= (3-3)2 +(-4+2)2
= (0)2 +(-2)2
= (2)2 = 2 इकाई उत्तर
AB = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
= (6-3)2 +(-2+2)2
= (3)2 +(0)2
= (3)2 = 3 इकाई उत्तर
तथा BC = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
= (3-6)2 +(-4+2)2
= (-3)2 +(-2)2
= 9 +4 = 13 इकाई उत्तर
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प्रश्न 3. बिन्दु (3, 4) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: माना दिया गया बिन्दु है A (3,4)
हम जानते हैं मूलबिन्दु O(0,0) होता है।
∴ दूरी सूत्र से,
OA = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
= (3-0)2 +(4-0)2
= 32 +42
= 9 +16 = 25 = 5 इकाई उत्तर
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प्रश्न 4. यदि PA = PB हो तथा बिंदु A, B के निर्देशांक क्रमशः (2,0) व (-2,4) हो और P, Y – अक्ष पर स्थित हो तब P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए I हल: दिया है – A(2, 0), B (-2, 4 )
तथा PA = PB ∵ Y – अक्ष पर स्थित बिंदु का x- निर्देशांक शून्य होता है I
∴ P(0, y)
अब PA = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
= (2-0)2 +(0-y)2
= 22 +y2
= 4 +y2
तथा PB = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
= ((-2)-0)2 +(4 -y)2
= (-2)2 +(4-y)2
∵ PA = PB [दिया है ]
PA2 =PB2
4 +y2 2 = 4 +(4 -y)2 2
4 +y2 =4 +(4 -y)2
4 +y2 =4 +y2 + 16 – 8y
0 = 16 – 8y
8y = 16
y = 2
अतः P के निर्देशांक (0, 2) है I उत्तर
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प्रश्न 5. Y- अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं ( 5,-2) व (3, 4) से समदूरस्थ है।
हल: माना A ( 5 , -2) तथा B(3, 4) है I
∵ Y- अक्ष पर स्थित बिन्दु का x – निर्देशांक शून्य होता है I
∴ Y- अक्ष पर स्थित बिन्दु P(0, y) होगा I
प्रश्नानुसार, PA = PB
(5-0)2 +(-2-y)2 = (3-0)2 +(4-y)2
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
52 + -2 -y2 = 32 + 4 -y2
52 + 2 +y2 = 32 + 4 -y2
25 + 4 + y2 + 4 y= 9 + 16 + y2 – 8y
29 + 4 y= 25 – 8y
4 y+ 8y= 25 – 29
12y= -4
∴ y= – 13
अतः अभीष्ट बिंदु P 0,-13 उत्तर
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प्रश्न 6. x तथा y में एक संबंध ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु (x, y), बिन्दुओं ( 7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ हो।
हल: माना P(x, y), A (7,1) तथा B(3,5) है।
तब प्रश्नानुसार, PA= PB
अब PA = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
PA = (x-7)2 +(y-1)2
PA2 = (x-7)2 +(y-1)2 …….(1)
तथा PB = (x2-x1)2 +(y2-y1)2
PA = (x-3)2 +(y-5)2
PB2 = (x-3)2 +(y-5)2 …….(2)
∵ PA= PB
∴ PA2 = PB2
(x-7)2 +(y-1)2 = (x-3)2 +(y-5)2
[ (1) व (2) से ]
x2 + 49 – 14x+y2 + 1 – 2y = x2 + 9 – 6x+y2 + 25 – 10y
50 – 14x – 2y = 34 – 6x- 10y
50 – 14x – 2y = 34 + 6x+ 10y = 0
– 8x + 8y + 16 = 0
– x + y + 2 = 0
∴ x – y -2 = 0 उत्तर
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सोचे और चर्चा करें –
दिए गए आलेख को देखिए I आप इनकी प्रवणता के विषय में क्या कहेंगे ? अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए I कौन – कौन से रेखाखंड की प्रवणता धनात्मक है और कौन – कौन से रेखाखंड की प्रवणता ऋणात्मक?
हल: रेखाखण्ड AB में A के निर्देशांक (0, 5) तथा B के निर्देशांक (1, 1) हैं I
∴ AB की प्रवणता = 1 – 51 – 0 = -4
अतः AB की प्रवणता ऋणात्मक है I
रेखाखण्ड CD में C के निर्देशांक (6, 7) तथा D के निर्देशांक (6, 4) हैं I
∴ CD की प्रवणता = 4 – 76 – 6 = -30
अतः CD की प्रवणता अनंत है I
रेखाखण्ड EF में E के निर्देशांक (5, 3) तथा F के निर्देशांक (7, 3) हैं I
∴ EF की प्रवणता = 3 – 37- 5 = 02
अतः EF की प्रवणता शून्य हैं I
रेखाखण्ड PQ में P के निर्देशांक (3, 5) तथा Q के निर्देशांक (2, 2) हैं I
∴ PQ की प्रवणता = 2 – 52- 3 = -3-1 = 3
अतः PQ की प्रवणता धनात्मक है I
रेखाखण्ड RS में R के निर्देशांक (1, 6) तथा S के निर्देशांक (4, 7) हैं I
∴ RS की प्रवणता = 7 – 64- 1 = 13
अतः RS की प्रवणता धनात्मक है I
रेखाखण्ड MN में M के निर्देशांक (4, 4) तथा N के निर्देशांक (6, 1) हैं I
∴ MN की प्रवणता = 1 – 46- 4 = -32
अतः MN की प्रवणता ऋणात्मक है I
रेखाखण्ड PQ और RS की प्रवणता धनात्मक और रेखाखण्ड AB और MN की प्रवणता ऋणात्मक है I उत्तर
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प्रश्न 1. दिये गये आलेख में अंतराल की ढाल या प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल: अन्तराल AB की ढाल = y2 – y1 x2 – x1 = 7 – 5 3 – 1 = 2 2 = 1
अन्तराल CD की ढाल = y2 – y1 x2 – x1
= 6-4 5 – 2 = 2 3
अन्तराल EF की ढाल = y2 – y1 x2 – x1
= 1-3 2 – 1 = -2 1 = -2
अन्तराल GH की ढाल = y2 – y1 x2 – x1
= 2-2 6 – 3 = 0 3 = 0
अन्तराल IJ की ढाल = y2 – y1 x2 – x1
= 1-5 7 – 7 = -4 0 = अपरिभाषित उत्तर
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प्रश्न 2. X – अक्ष के समान्तर रेखा की प्रवणता क्या होगी?
हल: ∵ X – अक्ष के समान्तर रेखा पर कोई भी बिंदु का Y – निर्देशांक समान होता हैI
∴ माना कि X – अक्ष के समान्तर रेखा पर कोई दो बिंदु A(x1, y) व B (x2, y) है, तब
AB की प्रवणता = y2 – y1 x2 – x1
= y – y x2 – x1
= 0 x2 – x1 = 0 उत्तर
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प्रश्न 3. एक रेखा बिंदु (7 ,10) से गुजरती है जिसकी ढाल 56 है I
(i) इस रेखा पर उस बिंदु के x– निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जब y = 15 हो I
(ii) y– निर्देशांक -3 पर x का मान क्या होगा?
हल: ∵ बिंदु (x1 , y1) तथा (x2 , y2) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता y2 – y1 x2 – x1 होती है I
परन्तु दिया है, (x1 , y1) = (7 , 10), प्रवणता = 56
∴ 56 = y2 – 10×2 – 7
(i) y = 15 तब 56 = 15 – 10×2 – 7
5×2- 35 = 30
x2= 30 + 355 = 655
x2= 13
∴ x – निर्देशांक = 13
(ii) y = -3 तब 56 = -3 – 10×2 – 7
56 = – 13×2 – 7
5×2 – 35 = -78
5×2 = -78 + 35
5×2 = -78 + 35
5×2 = -43
x2 = -435
अतः y = -3 पर x का मान = -435 होगा I
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प्रश्न 4. एक रेखा बिंदु (3, 7) व (6, 8) से होकर जाती है, तो उस रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए I हल: दिया है – A(x1 , y1) = A(3, 7)
B(x2 , y2) = B(6, 8)
रेखा AB की प्रवणता = y2 – y1 x2 – x1
= 8 – 7 6 – 3 = 1 3 उत्तर
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प्रश्न 5. सरल रेखा 5x + 6y = 7 को y = mx + c के रूप में लिखिए तथा रेखा की ढाल तथा y – अक्ष से अन्तः खण्ड ज्ञात कीजिए I हल: दिया है- रेखा 5x + 6y = 7
6y = -5x + 7
y = -56x + 76
रेखा y = mx + c से तुलना करने पर,
m = -56, c = 76
∴ ढाल = – 56 , y – अन्तः खण्ड = 76. उत्तर
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प्रश्न 6. उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो Y – अक्ष से 3 माप का अन्तः खण्ड काटती है एवं जिसकी प्रवीणता 54 है I हल: दिया है- Y- अक्ष पर अन्तः खण्ड = 3
∴ c = 3
तथा प्रवणता = 54
∴ m = 54
अतः अभीष्ट रेखा होगी
y = mx + c
y = 54 x + 3
y = 5x + 12 4
4y = 5x + 12
5x-4y + 12 = 0
5x-4y +12 = 0 उत्तर
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प्रश्न 7. Y- अक्ष के समान्तर रेखा की प्रवणता क्या होगी ? हल: ∵ Y – अक्ष के समान्तर रेखा के प्रत्येक बिंदु के x – निर्देशांक समान होते है I ∴ Y – अक्ष के समान्तर रेखा पर कोई दो बिंदु A(x , y1) तथा B(x , y2) हो I
तब AB की प्रवणता = y2 – y1 x2 – x1
= y2 – y1 x – x
= y2 – y1 x – x = y2 – y1 0 = अपरिभाषित
अतः Y – अक्ष के समान्तर रेखा की प्रवणता अपरिभाषित है I उत्तर
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प्रश्न 8. Y- अक्ष से 6 माप का अन्तः खण्ड काटने वाली – 53 ढाल वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए I हल: दिया है- y – अन्तः खण्ड = 6
∴ c = 6
तथा प्रवणता = – 53
∴ m = – 53
अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण होगा
y = mx + c
y = – 53 x + 6
y = -5x + 183
3y = -5x + 18
5x + 3y = 18
या 5x + 3y -18 = 0 उत्तर
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प्रश्न 9. उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी प्रवीणता 73 है तथा रेखा बिंदु (6, 0) से होकर जाती है I हल: दिया है – m = 73 , A(x1 , y1) = A(6, 0)
माना रेखा पर कोई चार बिंदु P(x, y) है I
तब रेखा AP के समीकरण हेतु अन्तराल
AP की प्रवणता = y2 – y1 x2 – x1
73 = y – 0 x – 6
7 (x-6) = 3y
7x-42 = 3y
7x-3y=42
या 7x-3y-42 = 0 उत्तर
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प्रश्न 10. मूलबिंदु से होकर जाने वाली उस सरल रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए जो बिंदु (2, 3) से भी होकर जाती है I हल: ∵ मूलबिंदु का निर्देशांक होता है O(0, 0)
माना A(x1 , y1) = A(2, 3)
तथा O(x2 , y2) = O(0, 0)
∴ OA की प्रवणता = y2 – y1 x2 – x1
= 0 – 3 0 – 2
= 3 2 उत्तर