Class 10 Maths
Chapter 9
त्रिकोणमितीय समीकरण एवं सर्वसमिकाएँ Trigonometric Equations and Identities
करके देखें:-
Page No.:205
प्रश्न 1. आकृति में कोण 2 व 3 के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए I
आकृति
हल : sin 2 = BDAB; cosec 2 = ABBD
cos 2 = ADAB ; sec 2 = ABAD
tan 2 = BDAD ; cot 2 = ADBD
sin 3 = ADAC ; cosec 3 = ACAD
cos 3 = CDAC ; sec 3 = ACCD
tan 3 = ADCD ; cot 3 = CDAD .
सोंचे एवं चर्चा करें –
Page No.:206
प्रश्न. प्रश्नदिए गए ∠ XYZ = के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात कैसे ज्ञात करेंगे?
हल- किरण YZ में एक बिंदु P लिया I P से किरण YX पर लम्ब PM
डाला I PMY एक समकोण त्रिभुज है,
जिसमें ∠Y = , MY आधार, PY कर्ण तथा PM लम्ब है I अतः हेतु सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात किए जा सकते हैं I
करके देखें –
Page No.:206
(i) = 30° , 45°, 60° के लिए प्राप्त संबंध sin2 + cos2 = 1 की सत्यता की जाँच कीजिए I हल – = 30° हेतु,
L.H.S. = sin230° + cos230°
= 122 + 322
= 14 + 34 = 3 + 14
= 44 = 1 = R.H.S. सिद्ध हुआ I
= 45° हेतु,
L.H.S. = sin245 + cos245
= 122 + 122
= 12 + 12 = 1. सिद्ध हुआ I
= 60° हेतु,
L.H.S. = sin260 + cos260
= 322 + 122
= 34 + 14 = 44 =1. सिद्ध हुआ I
Page No.:206 (ii) दी गई आकृति के लिए sin2 + cos2 = 1 की सत्यता की जाँच कीजिए I
हल- sin = BCAB = 35
cos = ACAB = 45
ஃ sin2 + cos2 = 352 + 452
= 925 + 1625 = 9 +1625
= 2525 = 1. सिद्ध हुआ I
करके देखें –
Page No.:208
प्रश्न 1. sec A को sin A के पदों में व्यक्त कीजिए I हल – sec A = 1cos A
= 11 – sin2 A उत्तर
Page No.:208
प्रश्न 2. सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को cosA के पदों में व्यक्त कीजिए I हल – sin A = 1 – cos2 A
tan A = sin Acos A = 1 – cos2 Acos A
cosec A = 1sin A = 11 – cos2 A
cot A = 1tan A = cos A1 – cos2 A
sec A = 1cos A. उत्तर
Page No.:213
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए –
प्रश्न 1. 1sec -1 – 1sec +1 = 2 cot2 .
हल: बायाँ पक्ष = 1sec -1 – 1sec +1
= (sec +1)- (sec -1) (sec -1) (sec +1)
= sec +1- sec +1 sec2 – 1 [ ∵ (a – b )( a + b ) = a2 – b2 ]
= 2tan2 , ( ∵ 1 + tan2A = sec2A )
= 2 cot2 [ ∵ 1tan A= cot A ]
= दायाँ पक्ष I
Page No.:213 प्रश्न 2. sec2 + cosec2 = sec2 .cosec2 .
हल:
बायाँ पक्ष = sec2 + cosec2
= 1cos2 + 1sin2 , [∵ sec A = 1cos A , cosec A =1sin A ]
= sin2 + cos2 cos2.sin2 (∵ sin2A +cos2A = 1 )
= 1cos2 . 1sin2
= sec2 .cosec2
= दायाँ पक्ष I
Page No.:213
प्रश्न 3. sin4A +cos4A =1 -2sin2A.cos2A . हल: बायाँ पक्ष = sin4A +cos4A
= sin2 A2+ cos2 A2
= sin2 A2+ cos2 A2+2sin2 A.cos2 A -2sin2 A.cos2 A
= sin2 A +cos2 A 2-2sin2 A.cos2 A
= 1 – 2sin2 A.cos2 A (∵ sin2 + cos2 = 1)
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:213
प्रश्न 4. 1- cos 1 + cos = cosec – cot .
हल: बायाँ पक्ष = 1- cos 1 + cos
हर का परिमेय करण करने पर,
= (1- cos ) (1 + cos ) X (1- cos ) (1 – cos )
= (1- cos )2 12 – cos2
= (1- cos )2 sin2 (∵ 1 – cos2A =sin2A)
= 1- cos sin2
= 1- cos sin
= 1 sin – cos sin
= cosec – cot
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:213 प्रश्न 5. (1 + cot – cosec ). (1 + tan + sec ) = 2.
हल: बायाँ पक्ष = (1 + cot – cosec ). (1 + tan + sec )
= 1 +cos sin -1 sin 1 +sin cos +1 cos
= sin + cos – 1sin cos + sin + 1cos
= [(sin + cos ) – 1]. [(sin + cos ) + 1 ]sin.cos
= sin + cos 2 – (1)2sin .cos
= sin2 + cos2 + 2sin .cos – 1 sin .cos
= 1 + 2sin .cos – 1 sin .cos (∵ sin2A +cos2A = 1 )
= 2sin .cos sin .cos
= 2 = दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:214
प्रश्न 6. 1 + cos1 – cos – 1 – cos1 + cos = 4 cot .cosec
हल:
बायाँ पक्ष = 1 + cos1 – cos – 1 – cos1 + cos
= [ (1 + cos)(1 + cos) – (1 – cos)(1 – cos)] (1 – cos).(1 + cos)
= (1+ cos )2 – (1- cos )212 – cos2
= (12 + cos2+ 2cos) – (12 + cos2- 2cos) 1 – cos2
= 12 + cos2+ 2cos – 1 – cos2+ 2cos) sin2 (∵ 1 – cos2A =sin2A)
= 4 cossin2
= 4 cossin x 1 sin
= 4 cot . cosec
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:214 प्रश्न 7. sin 1 + cos + 1 + cos sin = 2 cosec .
हल:
बायाँ पक्ष = sin 1 + cos + 1 + cossin
= sin2 + (1 + cos )2 (1 + cos) (sin )
= sin2 + (1 + cos 2 + 2 cos ) (1 + cos) (sin )
= ( sin2 + cos 2) + 1 + 2 cos ) (1 + cos) (sin ) (∵ sin2A +cos2A = 1)
= 1 + 1 + 2 cos ) (1 + cos) (sin )
= 2 + 2 cos ) (1 + cos) X sin
= 2( 1 + cos ) (1 + cos) X sin
= 2 x 1 sin
= 2 cosec
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:214 प्रश्न 8. यदि cos – sin = 2 sin हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
cos + sin = 2 cos .
हल: ∵ cos – sin = 2 sin
cos = 2 sin + sin
cos = sin (2+1)
cos (2+1) = sin
cos (2+1) x 2-12-1 = sin ,
(हर का परिमेयकरण से)
cos (2-1)2 2 – 12 = sin
cos (2-1)1 = sin
2 cos -cos = sin
∴ cos + sin = 2 cos . सिद्ध हुआ I
Page No.:214 प्रश्न 9. यदि tan = n. tan तथा sin = m sin हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
cos2 = m2 – 1n2 – 1.
हल: सिद्ध करना है :
cos2 = m2 – 1n2 – 1
दिया है: tan = n. tan
tan = tan n ……(1)
तथा sin = m.sin
sin = sin m ………..(2)
अब का विलोपन करने हेतु
समीकरण (2) से,
1cosec = sin m , ∵ sin A = 1cosec A
cosec = msin …………(3)
तथा समी. (1) से,
1cot = tan n , ∵ tan A =1cot A
cot = ntan ………..(4)
∵ cosec 2 – cot 2 = 1 (सर्वसमिका है)
msin 2 – ntan 2 = 1
m2sin2 – n2tan2 = 1
m2sin2 – n2 x cos2sin2 = 1
1sin2 ( m2 – n2cos2 ) = 1
m2 – n2 cos2 = sin2
m2 – n2 cos2 = 1 – cos2
m2 – 1 =n2 cos2 – cos2
m2 – 1 = cos2 ( n2 – 1 )
∴ cos2 = m2 – 1n2 – 1 . सिद्ध हुआ I
Page No.:214 प्रश्न 10. यदि x = a cosec तथा y = b cot हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
x2 a2 – y2 b2 = 1.
हल: दिया है: x = a cosec …………(1)
तथा y = b cot ………..(2)
बायाँ पक्ष = x2 a2 – y2 b2
= (a cosec )2 a2 – (b cot )2 b2
= a2. cosec2 a2 – b2. cot2 a2
= cosec2 – cot2
= 1 = दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:214 प्रश्न 11. यदि x = r. sin A. cosC , y = r sin A. sin C और z = r cos A हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
r2 = x2 + y2 + z2 .
हल: दिया है: x = r. sin A. cosC ……….(1)
y = r sin A. sin C ………..(2)
z = r cos A ……….(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) का वर्ग करके जोड़ने पर,
x2 + y2 + z2 = (r sin A. cosC)2+(r sin A. sin C)2 + (r cos A )2
= r2 sin 2A.cos 2C + r2 sin 2A.sin 2C + r2 cos 2A
= r2 sin 2A (cos 2C + sin 2C ) + r2 cos 2A
= r2 sin 2A (1) + r2 cos 2A
= r2 ( sin 2A + cos 2A )
= r2.(1) , (∵ sin2 + cos2 = 1)
∴ r2 = x2 + y2 + z2 . सिद्ध हुआ I
करके देखें –
Page No.:215
प्रश्न. दिए गए संबंधो में = 0°, 30°, 45°, 60°, 90° मानों को रखिए और जाँच कीजिए कि यह के किन मानों के लिए सत्य है –
1. cos + sin = 2 हल- = 0° के लिए, = cos 0° + sin 0°
= 1 + 0 = 1. असत्य I
= 30° के लिए, = cos 30° + sin 30°
= 32 + 12 = 3 + 12. असत्य I
= 45° के लिए, = cos 45° + sin 45°
= 12 + 12 = 22 = 2. असत्य I
= 60° के लिए, = cos 60° + sin 60°
= 12 + 32 = 3 + 12 . असत्य I
= 90° के लिए, = cos 90° + sin 90°
= 0 + 1 = 1 . असत्य I
2. tan2 + cot2 = 2 हल – = 0° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan2 + cot2
= tan20° + cot20°
= 0 +
= अपरिभाषित
दायाँ पक्ष
= 30° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan2 + cot2
= tan230° + cot230°
= 132 + 32
= 13 + 3 = 1 + 93
= 103
दायाँ पक्ष
= 45° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan2 + cot2
= tan2(45) + cot2(45)
= 12+ 12
= 2
= दायाँ पक्ष
= 60° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan2 + cot2
= tan260° + cot260°
= 32+ 132
= 3 + 13= 9 +13
= 103
दायाँ पक्ष
=90° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan2 + cot2
= tan2 + cot2
= tan290° + cot290°
= + 0
= अपरिभाषित दायाँ पक्ष
अतः उपर्युक्त सर्वसमिका केवल = 45° हेतु सत्य है I उत्तर
3. 2 cos2 = 3sin.
हल- = 0° के लिए,
बायाँ पक्ष = 2cos2°
= 2cos20°
= 2 x 1 = 2
दायाँ पक्ष = 3 sin
= 3 x sin0°
= 3x 0 = 0
अतः बायाँ पक्ष दायाँ पक्ष I
= 30° के लिए,
बायाँ पक्ष = 2cos2
= 2cos230°
= 2322 = 2 x 34 = 32
दायाँ पक्ष = 3 sin
= 3 sin 30° = 3 x 12 = 32
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष I
= 45° के लिए,
बायाँ पक्ष = 2cos2
= 2 x cos245°
= 2 x 122 = 2 x 12 =1
दायाँ पक्ष = 3 sin
= 3 sin 45°
= 3. 12 = 32
∴ बायाँ पक्ष दायाँ पक्ष I
= 60° के लिए,
बायाँ पक्ष = 2cos2
= 2 x cos260°
= 2 122= 2 x 14 = 12
दायाँ पक्ष = 3 sin
= 3 sin 60°
= 3 x 32 = 332
∴ बायाँ पक्ष दायाँ पक्ष I
= 90° के लिए,
बायाँ पक्ष = 2cos2
= 2 cos290° = 2 x 0 = 0
दायाँ पक्ष = 3 sin
= 3 sin 90°
= 3 x 1 = 3
∴ बायाँ पक्ष दायाँ पक्ष I
अतः उपर्युक्त समीकरण केवल = 30° हेतु सत्य है I उत्तर
4. tan. sec = 23.
हल – = 0° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan . sec
= tan0°. sec0°
= 0.1 = 0
दायाँ पक्ष
= 30° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan. sec
= tan30°. sec30°
= 13.23 = 23
दायाँ पक्ष
= 45° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan. sec
= tan45°. sec45°
= 1.2 = 2
दायाँ पक्ष
= 60° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan. sec
= tan60°. sec60°
= 3.2 = 23
= दायाँ पक्ष
= 90° के लिए,
बायाँ पक्ष = tan. sec
= tan90°. sec90°
= .
= अपरिभाषित
= दायाँ पक्ष
अतः , केवल = 60° हेतु उपर्युक्त सर्वसमिका सत्य है I उत्तर
Page No.:217 प्रश्न 1. दिए गए त्रिकोंमितीय समीकरणों को हल कीजिए जहाँ 0°90°
(i) 2cos2 – 3 cos = 0.
हल: 2cos2 – 3 cos = 0.
cos [ 2 cos -3] = 0
cos = 0 या 2 cos – 3 = 0
cos = cos 90° cos = 3 2
∴ = 90° cos = cos 30°
∴ = 30°
अतः अभीष्ट हल = 30° , = 90° . उत्तर
Page No.:217 (ii) 2 sin2 – cos = 1
2 (1 – cos2 ) – cos = 1
2 – 2cos2 – cos = 1
– 2cos2 – cos + 1 = 0
2 cos2 + cos – 1 = 0
2 cos2 + cos – 1 = 0
2 cos2 + 2 cos – cos – 1 = 0
2 cos (cos + 1) – 1(cos + 1) = 0
(cos + 1) (2cos -1) = 0
cos + 1 = 0 2 cos – 1 = 0
cos = – 1 cos = 12
cos = cos 60°
यहाँ पर यह समीकरण = 60° 090° के लिए सत्य नहीं है अतः इसे छोड़ने पर I
अतः अभीष्ट हल = 60° .
Page No.:217
(iii) 3 tan2 = 2 sec2 + 1.
हल: 3 tan2 = 2 sec2 + 1
3 tan2 = 2 (1 + tan2 ) + 1 [∵ 1 + tan2 = sec2 ]
3 tan2 = 2 + 2tan2 + 1
3 tan2 – 2tan2 = 2 + 1
3 tan2 – 2tan2 = 2 + 1
3 tan2 – 2tan2 = 3
tan2 = 3
tan = 3
tan = tan 60°
अतः अभीष्ट हल = 60° उत्तर
Page No.:217 (iv) cos2 – 3 cos + 2 = sin2.
हल: cos2 – 3 cos + 2 = sin2.
cos2 – 3 cos + 2 = 1 – cos2 [∵ sin2 + cos2 = 1]
cos2 – 3 cos + 2 – 1 + cos2 = 0
2 cos2 – 3 cos + 1 = 0
2 cos2 – 2 cos – cos + 1 = 0
2 cos ( cos -1) – 1( cos -1) = 0
( cos -1)( 2cos -1) = 0
cos -1= 0 2 cos -1 = 0
cos = 1 2cos = 1
cos = cos 0° cos = 12
∴ = 0° cos = cos 60°
= 60°
अतः अभीष्ट हल = 0° , = 60° . उत्तर
Page No.:217
(v) cos 1 – sin + cos 1 + sin = 4.
हल: cos 1 – sin + cos 1 + sin = 4
cos 11 – sin + 11 + sin = 4
cos 1 + sin +1 – sin (1 – sin )(1 + sin ) = 4
cos . 21 – sin2 = 4 [∵ (a + b)(a – b) = a2- b2]
cos . 2 cos2 = 4 [∵ sin2 + cos2 = 1]
2 cos = 4
cos = 24
cos = cos60°
∴ = 60°
अतः अभीष्ट हल = 60° . उत्तर
सोचें एवं चर्चा करें-
Page No.:218 प्रश्न. क्या उपरोक्त संबंध 0° 90° के सभी मानों के लिए सत्य है? उत्तर – हाँ I उदाहरण के लिए, = 60°
अब sin(90° – 60°) = sin 30° = 12
तथा cos 60° = 12 , ∴ sin(90° – 60°) = cos 60° = 12
इसी प्रकार, सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के लिए के सभी मानों के लिए उपरोक्त संबंध सत्य होगा I
करके देखें
Page No.:218 प्रश्न. पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के संबंध का प्रयोग करके निम्न सारणी को पूर्ण कीजिए –
Page No.:224
प्रश्न 1. निम्नलिखित में 0° से 45° के बीच के त्रिकोणमितीय अनुपात में व्यक्त कीजिए-
(i) sin 56°
हल: (i) sin 56°
= sin (90°-34°)
= cos 34° , [sin (90°-A ) = cosA] उत्तर
(ii) tan 81°
हल: tan 81° = tan (90° – 9° )
= cot 9°, [tan (90°-A ) = cot A ]
(iii) sec 73°
हल: sec 73° = sec (90°-17° )
= cosec 17°, [∵ sec (90°-A ) = cosec A] उत्तर
Page No.:224 प्रश्न 2. निम्न का मान ज्ञात कीजिए –
(i) cos 80°sin 10°
हल: cos 80°sin 10° = cos (90° – 10°)sin 10°
= sin 10°sin 10° , [∵ cos (90°-A ) = sin A ]
= 1. उत्तर
(ii) sin 37°2 cos 53° .
हल: sin 37°2 cos 53° = sin ( 90° – 53° )2 cos 53°
= cos 53°2 cos 53° . [∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= 12 . उत्तर
(iii) 3sin 17°.sec 73° .
हल: 3sin 17°.sec 73°
= 3sin 17° x 1cos 73° [∵ cos A = 1sec A ]
= 3sin (90° -73°) cos 73°
= 3 cos 73°cos 73° , [∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= 3 x 1 = 3. उत्तर
प्रश्न 3. निम्न का मान ज्ञात कीजिए –
Page No.:224 (i) sin 64° – cos 26°
हल: sin 64° – cos 26°
= sin(90° -26° ) – cos 26°
= cos 26° – cos 26°,
[∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= 0 . उत्तर
Page No.:224 (ii) 3 cos 80°. cosec10° + 3 cos 59°. cosec 31° .
हल: 3 cos 80°. cosec10° + 3 cos 59°. cosec 31° .
= 3 cos 80° x 1sin 10° x 2.cos 59° x 1sin 31° [∵ sin A = 1cosec A ]
= 3 cos ( 90° – 10°) sin 10° + 2 cos ( 90° – 31°) sin 31°
= 3 sin 10° sin 10° + 2. sin 31° sin 31° [∵ cos (90°-A ) =sin A ]
= 3 (1) + 2 (1) [∵ tan (90°-A ) =cot A ]
= 3 + 2 = 5. उत्तर
Page No.:224 (iii) 2 cos 67° sin 23° – tan 40° cot 50° + cos 0°.
हल: 2 cos 67° sin 23° – tan 40° cot 50° + cos 0°
= 2. cos (90° – 23° ) sin 23° – tan (90° – 50° ) cot 50° + 1, (∵ cos 0° = 1)
= 2. sin 23° sin 23° – cot 50° cot 50° + 1, [∵ cos (90°-A ) =sin A ]
= 2(1) – 1 + 1
= 2 – 1 + 1 = 2. उत्तर
Page No.:224 (iv) sin235° + sin255° .
हल: sin235° + sin255°
= sin235° + sin2 (90° – 35°) [∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= sin235° + cos235°
= 1, (∵ sin2A + cos2A = 1) उत्तर
Page No.:224 (v) 5 sin 35° cos 55° + cos 55° 2 sin 35° – 2cos 60° .
हल: 5 sin 35° cos 55° + cos 55° 2 sin 35° – 2cos 60°
= 5 . sin ( 90°-55°) cos 55° + cos 55° 2 sin ( 90°-55°) – 2cos 60°
= 5. cos 55° cos 55° + cos 55° 2 cos 55° – 2 x 12 [∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= 5 X 1 + 12X 1 – 1
= 5 + 12 – 1
= 10 + 1 -22
= 11 -22
= 92 . उत्तर
प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि-
Page No.:225 (i) sin 63°. cos 27° + cos 63°. sin 27° = 1.
हल: बायाँ पक्ष = sin 63°. cos 27° + cos 63°. sin 27°
= sin 63°. cos(90° – 63°) + cos63° sin(90° – 63°)
= sin 63°. sin 63° + cos63° .cos63° [∵ cos (90°-A ) =sin A ]
= sin263° + cos263° [∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= 1 [∵ sin2 + cos2 = 1]
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:225 (ii) tan 15°. tan 36° . tan 45°. tan 54°. tan 75° = 1.
हल: बायाँ पक्ष = tan 15°. tan 36° . tan 45°. tan 54°. tan 75°
= [ tan 15°.tan 75° ]. [tan 36°. tan 54°] tan 45°
= [tan 15°. tan (90° -15°)].[tan 36°. tan (90° -36°)]. (1)
[∵ tan (90°-A ) = cot A ]
= [tan 15°. cot 15° ]. [tan 36°. cot 36° ]. 1
= tan 15° X 1tan 15° . tan 36° X 1tan 36°. 1 [∵ tan A = 1cot A ]
= (1).(1).(1) = 1
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:225 (iii) sin285° + sin280° + sin210° + sin25° = 2.
हल: बायाँ पक्ष = sin285° + sin280° + sin210° + sin25°
= [sin285° + sin25° ] + [sin280° + sin210° ]
= [sin285° + sin2 (90°- 85°) ] + [sin280° + sin2 (90°- 80°)]
[∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= [sin285° + cos285°] + [sin280° + cos280°]
= (1) + (1) = 2, (∵ sin2A + cos2A = 1)
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:225 प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि –
sin(90° – ). cos(90° – ) = tan 1 + cot2(90° – ) .
हल: बायाँ पक्ष = sin(90° – ). cos(90° – ) [∵ sin (90°-A ) = cos A ]
= cos . sin [∵ cos (90°-A ) =sin A ]
दायाँ पक्ष = tan 1 + cot2(90° – )
= tan 1 + tan2 , [∵ cot (90°-A ) = tan A ]
= tan sec2 , ( ∵1 + tan2A =sec2A )
= tan x cos2, [ ∵1 sec A = cos A ]
= sin cos x cos2
= sin . cos
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:225 प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि –
cos sec (90° – ) + 1 + sin (90° – ) cosec – 1 = 2tan .
हल: बायाँ पक्ष = cos sec (90° – ) + 1 + sin (90° – ) cosec – 1
= cos cosec + 1 + cos cosec – 1
[∵ sin (90° -A ) =cot A , sec (90° -A ) =cosec A ]
= cos 1 cosec + 1 + 1 cosec – 1
= cos cosec – 1 + cosec + 1 (cosec + 1) (cosec – 1)
= cos 2 cosec cosec2 – 1
= cos 2 cosec cot2 , ( ∵ cosec2A -1 =cot2A )
= 2cos x 1sin x 1 cot2
= 2 x cos sin x 1 cot2
= 2 cot cot2
= 2 x 1 cot
= 2 tan
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:225 प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि –
tan (90° – ) cosec2 . tan = cos2.
हल: बायाँ पक्ष = tan (90° – ) cosec2 . tan
= cot cosec2 . tan [∵ tan (90°-A ) = cot A ]
= cot . cot cosec2 [∵ cot A = 1tan A ]
= cot2 x 1 cosec2
= cos2 sin2 x sin2 [∵ cot A = cos Asin A ]
= cos2
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:225 प्रश्न 8. यदि sinA = cosB हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
A + B = 90°.
हल: ∵ sinA = cosB , (दिया है I)
∴ sinA = sin(90° – B) [∵ sin (90°- ) = cos ]
A = 90° – B
A + B= 90°. सिद्ध हुआ I
Page No.:225 प्रश्न 9. यदि cosec 2A = sec(A -36°) जहाँ 2A एक न्यूनकोण हो, तो A का मान ज्ञात कीजिए I
हल: ∵ cosec 2A = sec(A -36°)
sec(90°-2A ) = sec(A -36°), [ ∵ cosec = sec(90 – ) ]
90° – 2 A = A – 36°
90°+ 36° = A + 2 A
126° = 3 A
∴ A = 126° 3 = 42° . उत्तर
Page No.:225 प्रश्न 10. यदि A + B = 90° , secA = a, cot B = b तब सिद्ध कीजिए कि –
a2 – b2 = 1.
हल: ∵ secA = a ……..(1)
तथा cot B = b ……..(2) (दिया है)
समीकरण (1) और (2) का वर्ग करके घटाने पर,
a2 – b2 = sec2A – cot2B
= sec2A – cot2(90°-A ) ( ∵ A + B = 90° B = 90° – A)
sec2A – tan2A [∵ cot (90°- ) = tan ]
∴ a2 – b2 = 1,
(∵ sec2 – tan2 = 1) सिद्ध हुआ I
Page No.:225 प्रश्न 11. यदि A , B व C त्रिभुज ABC के अन्तः कोण हो, तो सिद्ध कीजिए कि-
tan B + C2 = cot A2.
हल: ∵ A, B व C त्रिभुज ABC के अंतः कोण है
∴ A + B + C = 180° ………..(1)
B + C = 180° – A
B + C2 = 180° – A 2
(दोनों पक्षों में 2 का भाग देने पर)
tan B + C2 = tan 180° – A 2
(दोनों पक्षों में tan लेने पर)
tan B + C2 = tan 180°2 -A2
tan B + C2 = tan 90° -A2 [∵ tan (90°- ) = cot ]
∴ tan B + C2 = cot A2. सिद्ध हुआ I
Page No.:225 प्रश्न 12. यदि sec 34° = x हो, तो cot256° + cosec 56° का मान ज्ञात कीजिए I
हल: दिया है : sec 34° = x ……….(1)
अब cot256° + cosec 56°
= [ cosec256° – 1] + cosec 56°
= [ cosec2( 90° – 34°) – 1] + cosec( 90° – 34°),
[∵ cosec2A – cot2A =1
∴ cosec2A – 1 = cot2A ]
= sec234° – 1 + sec34° , [ ∵ cosec(90 -A ) = sec A]
= x2- 1 + x ( sec 34° = x)
= x2+ x – 1. उत्तर