Class 10 Maths
Chapter 4
समान्तर श्रेढ़ी Parallel Series
करके देखें:-
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प्रश्न. नीचे दी गई संख्याओं की प्रत्येक श्रेढ़ी में क्या पैटर्न है ? पहचान कीजिए –
(i) 4, 10, 16, 22, …………………. .
(ii) 0, 3, 6, 9, ………….. .
(iii) -1, -3, -5, -7, ………….. . उत्तर – (1) इस अनुक्रम में प्रत्येक पद अपने पहले पद में 6 जोड़ने पर प्राप्त होता है I
(2) इस अनुक्रम में प्रत्येक पद अपने पहले पद में 3 जोड़ने पर प्राप्त होता है I
(3) इस अनुक्रम में प्रत्येक पद अपने पहले पद में -2 जोड़ने पर प्राप्त होता हैं I
करके देखें –
Page No.:102
प्रश्न 1. नीचे दी गई संख्याओं की श्रृंखला में से समान्तर श्रेढ़ी छांटिए –
(i) 9, 16, 23, 30, ………..
(ii) 11, 15, 18, 20, …………
(iii) 4, 13, 19, 28, …………
(iv) 0, -3, -6, -9, ……….
(v) 2, 2, 2, 2, ……………
(vi) 917, 77. 97 ,137, ………
हल – (i) , (iv) एवं (v) समान्तर श्रेढ़ी हैं I
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प्रश्न 2. दी हुई समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद और सार्वअन्तर लिखिए –
(i) 9, 12 ,15, 18, ……….
हल – प्रथम पद = 9
सार्वअन्तर = 12 – 9 = 3. उत्तर
(ii) 2, 8 ,14, 20, ……….
हल – प्रथम पद = 2
सार्वअन्तर = 8 – 2 = 6. उत्तर
(iii) 3, -2 ,-7, -12, ……….
हल – प्रथम पद = 3
सार्वअन्तर = -2 – 3 = -5. उत्तर
(iv) -5, 2 ,9, 16, ……….
हल – प्रथम पद = (-5)
सार्वअन्तर = 2 – (-5) = 2 + 5= 7. उत्तर
(v) 0.4, 0.9, 1.4, 1.9 ……….
हल – प्रथम पद = 0.4
सार्वअन्तर = 0.9 – 0.4 =0.5. उत्तर
(vi) 5, 5, 5, 5 …………
हल – प्रथम पद = 5
सार्वअन्तर = 5 – 5 =0 उत्तर
(vii) 13, 53,93,133, …….
हल – प्रथम पद = 13
सार्वअन्तर = 53 – 13 = 43 उत्तर
करके देखें
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प्रश्न 1. नीचे दी गई समांतर श्रेढ़ियों के अगले तीन पद ज्ञात कीजिए –
(i) 5, 11, 17, 23 ………… हल – 11 – 5 = 6 = सार्वान्तर
∴ अगले तीन पद 29, 35, 41 होंगे I उत्तर
(ii) -11, -8, -5, -2 ………… हल – -8 – (-11) = -8 + 11 = 3 = सार्वान्तर
∴ अगले तीन पद 1, 4, 7 होंगे I उत्तर
(iii) 49, 79,109,139, …….
हल – 79 – 49 = 39 = सार्वान्तर
∴ अगले तीन पद 169,199, 229 होंगे I उत्तर
(iv) 0, 9, 18, 27 ………… हल – 9 – 0 = 9 = सार्वान्तर
∴ अगले तीन पद 36, 45, 54 होंगे I उत्तर
करके देखें –
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प्रश्न 1. एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी बनाइए जिसका प्रथम पद 5 और सार्वन्तर 3 हो I हल – a = 5
d = 3
∴ अपरिमित समांतर श्रेढ़ी होगी –
5, 8, 11, 14 ………… . उत्तर
Page No.:104
प्रश्न 2. 5 पदों वाली दो परिमित समांतर श्रेढियाँ बनाइए I हल – (i) 1, 3, 5, 7, 9
(ii) 5, 10, 15, 20, 25 उत्तर
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प्रश्न 3. 10 पदों वाली किसी परिमित समांतर श्रेढ़ी की सबसे बड़ी सदस्य संख्या कौन – सी होगी यदि a = 11 और d = 6 ?
हल- यदि प्रथम पद a और सार्व अंतर d हो, तो
द्वितीय पद – a + d
तृतीय पद – a + 2d
चतुर्थ पद – a + 3d
………………….
………………….
अतः अंतिम 10वाँ पद a + 9d होगा, जो सबसे बड़ी संख्या होगी I
सबसे बड़ी सदस्य संख्या = a + 9d
= 11 + 9 x 6
= 11 + 54 = 65.
करके देखें –
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प्रश्न 1. समांतर श्रेढ़ी 3, 5, 7, ………… में 15 पद हैं I अंतिम पद ज्ञात कीजिए I
हल: 3, 5, 7, ………..
a = 3, d = 5 – 3 = 2
पदों की संख्या n = 15
∴ अंतिम पद 15 वाँ पद होगा I
∴ an = a + (n – 1)d से,
a15 = 3 + (15 – 1). 2
= 3 + 14 x 2
= 3 + 28 = 31. उत्तर
Page No.:107
प्रश्न 2. समांतर श्रेढ़ी -9, -5, -1, ………….. का अंतिम पद 67 है, तो श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?
हल: -9, -5, -1, …………..
a = -9
b = -5 – (-9)
= -5 + 9 = 4
माना श्रेढ़ी में n पद हैं I
∴ an = 67
अतः an = a + (n – 1)d से,
67 = -9 + (n – 1).4
67 = -9 + 4n – 4
4n = 67 + 13 = 80
∴ n = 804 = 20. उत्तर
Page No.:107
प्रश्न 3. समांतर श्रेढ़ी 10, 15, 20, ……… का m वाँ पद और pवाँ पद ज्ञात कीजिए I
हल: 10, 15, 20, ………
a = 10, d = 15 – 10 = 5
∴ an = a + (n – 1)d से,
m वाँ पद am = a + (m – 1)d
= 10 + (m – 1)d
= 10 + 5m – 5
= 5m + 5. उत्तर
p वाँ पद ap = a + (p – 1)5
= 10 + 5p – 5
= 5p – 5. उत्तर
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प्रश्न 1. एक समांतर श्रेढ़ी में 50 पद हैं , जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है I इस श्रेढ़ी का 21 वाँ पद ज्ञात कीजिए I
हल- n = 50, a3 = 12
अंतिम पद = a50 = 106
an = a + (n – 1)d से,
a3 = a + (3 – 1)d = 12
a + 2d = 12 ………………(1)
a50 = a + (50 – 1)d = 106
a + 49d = 106 …………….(2)
समी. (1) और (2) से,
a + 2d = 12
a + 49d = 106
– – – घटाने पर
| -47d = -94 |
∴ d = -94-47 = 2
d का मान समी. (1) में रखने पर ,
a + 2.2 = 12
a = 12 – 4 = 8
∴ 21 वाँ पद = a21 = a + (21 – 1)d
= 8 + 20 x 2
= 8 + 40 = 48. उत्तर
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प्रश्न 2. एक समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 10 और सार्व अंतर -3 है I यदि इसका अंतिम पद -62 हो, तो प्रथम पद की ओर से 11 वाँ पद ज्ञात कीजिए I हल: a = 10, d = -3
माना, श्रेढ़ी में कुल n पद हैं, an = -62
a + (n – 1)d = -62
10 + (n – 1) (-3) = -62
10 – 3n + 3 = -62
13 + 62 = 3n
3n = 75
∴ n = 25
∴ a11 = a + (11 – 1)d से,
= 10 + 10(-3)
= 10 – 30 = -20. उत्तर
प्रश्न. सही विकल्प चुनकर कारण सहित लिखिए-
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(i) दी गई समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद और सार्व अंतर है-
32 , 12, – 12, – 32 , …………
(a) 12, – 12 (b) 32 ,-1 (c) 32 , – 12 (d) -32 , -1
उत्तर- (b) 32 , -1
कारण : a = a1= 32 , a2= 12
∵ d = a2 – a1
= 12 – 32 = 1-32
= -22 = -1
स्पष्ट है प्रथम पद a = 32
सार्वान्तर d = -1.
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(ii) किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद -2 और सार्व अंतर -2 है तो चौथा पद होगा-
(a) 0 (b) – 2 (c) –4 (d) –8
उत्तर- (d) -8
कारण : a = -2, d = -2
∵ an = a + (n – 1)d
a4 = -2 + (4 – 1) x (-2) = -2 – 6 = -8
a4 = -8.
Page No.:111
(iii) समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19…… का 15 वाँ पद होगा-
(a) 91 (b) 97 (c) 112 (d) 90
उत्तर- (a) 91
कारण : a = a1= 7 , a2=13, d = a2 – a1= 13 – 7 = 6
∵ an = a + (n – 1)d
a15 = 7 + (15 – 1) x 6
a15 = 7 + 84 = 91.
Page No.:111
(iv) किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 4 और सार्व अंतर -4 है तो n वाँ पद होगा –
(a) 8 – 2n (b ) 4 – 2n (c ) 8 – 4n (d) 8 – 8n
उत्तर- (c ) 8 – 4n
कारण : a = 4 , d = – 4
∵ an = a + (n – 1)d
an = 4 + (n – 1) (-4)
an = 4 – 4n + 4
an = 8 – 4n.
Page No.:111
(v) समांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13, 18… का कौन-सा पद 78 है?
(a) 15 वाँ (b) 16 वाँ (c)17 वाँ (c)18 वाँ
उत्तर- (b ) 16 वाँ
कारण : a = a1= 3 , a2= 8, d = a2 – a1= 8 – 3 = 5
मान n वाँ पद 78 है अतः an = 78
∵ an = a + (n – 1)d
78 = 3 + (n – 1)5
(78-3)5 = n -1
n = 15 + 1 = 16.
Page No.:111 प्रश्न 2. निम्नलिखित श्रेढ़ियों में कौन-सी समांतर श्रेढ़ी है कारण भी बताइए –
Page No.:111 (a) a, a2, a3, a4……. हल: यहाँ पर a1= a, a2= a2, a3= a3, a4= a4
∴ a2 – a1= a2 – a = a(a – 1)
a3 – a2= a3 – a2 = a2(a – 1)
स्पष्ट है कि a2 – a1 a3 – a2
∴ दी गई श्रेढ़ी समान्तर श्रेढ़ी नहीं है I उत्तर
Page No.:111
(b) 2 , 8 ,18, 32 , …….
हल: यहाँ पर, a1= 2,
a2= 8
= 4 X 2 = 2 2
a3= 18 = 9 X 2 = 32
a4= 32 = 16 X 2 = 42
अब ∵ a2 – a1= 2 2 – 2 = 2
a3 – a2= 32 – 22 = 2
a4 – a3= 42 – 32 = 2
∴ a2 – a1 = a3 – a2= a4 – a3= ……= 2
अतः दी गई श्रेढ़ी समांतर श्रेढ़ी है I उत्तर
Page No.:112
(c) 12, 32, 52, 72, 92,…..
हल: यहाँ पर, a1 = 12 = 1
a2 = 32 = 9
a3 = 52 = 25
a4 = 72 = 49
∵ a2 – a1 = 9 – 1 = 8
a3 – a2= 25 – 9 = 16
a4 – a3= 49 – 25 = 24
स्पष्ट है कि a2 – a1 a3 – a2 a4 – a3
अतः दी गई श्रेढ़ी समांतर श्रेढ़ी में नहीं है I उत्तर
Page No.:112
(d) 0, -4, -8, -12, ……. .
हल: यहाँ पर, a1 = 0
a2 = -4
a3 = -8
a4 = -12
∵ a2 – a1 = -4 – 0 = -4
a3 – a2= -8 -(-4) = -8 + 4 = -4
a4 – a3= -12 – (-8) = -12 + 8 = -4
स्पष्ट है कि a2 – a1 = a3 – a2= a4 – a3= ……..= -4
अतः दी गई श्रेढ़ी समांतर श्रेढ़ी में है I उत्तर
Page No.:112 (e) 16, 1812, 2012, 23,…………
हल: यहाँ पर, a1 = 16
a2 = 1812 = 372
a3 = 2012 = 412
a4 = 23
∵ a2 – a1 = 372 – 16
= 37 – 32 2 = 52
a3 – a2= 412 – 372 = 41 – 37 2 = 42 = 2
a4 – a3= 23 – 412 = 46 – 412 = 52
स्पष्ट है कि a2 – a1 a3 – a2 a4 – a3
अतः दी गई श्रेढ़ी समांतर श्रेढ़ी में नहीं है I उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 3. समांतर श्रेढ़ी 9,5,1, -3,……… का 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल: समान्तर श्रेढ़ी 9, 5, 1, -3, …….
यहाँ पर, a = a1 = 9, a2 = 5
d = a2 – a1 = 5 – 9 = -4
तथा, n = 10
∵ समांतर श्रेढ़ी का n वाँ पद = a + (n – 1)d
∵ an = a + (n – 1)d
∴ a10 = 9 + (10 – 1) (-4)
a10 = 9 + 9 x (-4)
a10 = 9 – 36 = -27. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 4. समान्तर श्रेढ़ी 100, 70, 40, ……… का 40 वाँ पद ज्ञात कीजिए। हल: दिया है : समान्तर श्रेढ़ी 100, 70, 40, ………
यहाँ पर, a = a1 = 100, a2 = 70
d = a2 – a1 = 70 – 100 = -30
तथा, n = 40
∵ an = a + (n – 1)d
∴ a40 = 100 + (40 – 1) (-30)
a40 = 100 + (39)(-30)
a40 = 100 – 1170 = -1070. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 5. समांतर श्रेढ़ी 19, 49 , 79 का n वाँ पद ज्ञात कीजिए। हल: दिया है: समांतर श्रेढ़ी 19, 49 , 79,………..
यहाँ पर, a = a1= 19 , a2= 49
∵ d = a2 – a1
∴ d = 49 – 19 = 4-19
= 39 = 13
∵ an = a + (n – 1)d
an = 19 + (n – 1). 13
an = 19 + n3 – 13
an = n3 – 29
an = 3n – 23 .
Page No.:112
प्रश्न 6. समांतर श्रेढ़ी 950,900, 850,…………. का m वाँ पद ज्ञात कीजिए। हल: दिया है : समांतर श्रेढ़ी 950,900, 850,………….
यहाँ पर, a = a1 = 950, a2 = 900
d = a2 – a1 = 900 – 950 = -50
तथा an = a + (n – 1)d
am = 950 + (m – 1) (-50)
am = 950 – 50 m + 50
am =1000 – 50 m. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 7. समान्तर श्रेढ़ी 8,15,22,…………… का अंतिम पद 218 है। पदों की संख्या ज्ञात कीजिए। हल: दिया है: समान्तर श्रेढ़ी 8,15,22,……………
यहाँ पर, a = a1 = 8, a2 = 15,
∵ d = a2 – a1 = 15 – 8 = 7
∴ Tn = a + (n – 1)d
218 = 8 + (n – 1).7
218 – 8 = (n – 1).7
n – 1 = 2107 = 30
∴ n = 31. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 8. 27, 24, 21,……. का कौन-सा पद शून्य है? हल: दिया है: श्रेढ़ी 27,24,21,………..
यहाँ पर, a = a1 = 27, a2 = 24
∵ a2 – a1 = 24 – 27 = -3
∴ d = -3
माना श्रेढ़ी का n वाँ पद शून्य है I
∴ an = 0
a + (n – 1)d = 0
27 +(n – 1)(-3) = 0
27 = 3(n – 1)
9 = n – 1
∴ n = 9 + 1 = 10. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 9. यदि दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है और इनके 99 वें पदों का अंतर 99 है, तो इनके 999 वें पदों का अंतर क्या होगा? कारण भी बताइए। हल: माना दो समान्तर श्रेढ़ी है –
a1+ a2+ a3+ a4+ …………+ an
तथा b1+ b2+ b3+ b4+ …………+ bn
माना दोनों समान्तर श्रेढ़ी का सार्वान्तर = d
∴ an = a1 + (n – 1)d
तथा, bn = b1 + (n – 1)d
∴ n वें पद का अंतर = an – bn
= [ a1 + (n – 1)d ] – [ b1 + (n – 1)d ]
= a1 + (n – 1)d – b1 – (n – 1)d
= a1 – b1
∴ 99 वें पद का अंतर = a1 – b1 = 99
∴ 999 वें पद का अंतर = a1 – b1 = 99.
Page No.:112
प्रश्न 10. फूलों की एक क्यारी की पहली पंक्ति में 23 पौधे हैं, दूसरी पंक्ति में 21 पौधे हैं, तीसरी पंक्ति में 19 पौधे हैं, इत्यादि । इस क्यारी की अंतिम पंक्ति में 5 पौधे हैं। क्यारी में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं? हल: ∵ क्यारी के क्रमागत पंक्तियों में रखे गये गुलाबों की संख्याओं से प्राप्त श्रेढ़ी निम्नानुसार होगी –
23, 21, 19, ……………5
यहाँ पर, a1 = a = 23, a2 = 21, a3 = 19, an = 5
∵ a2 – a1 = 21 – 23 = -2
a3 – a2 = 19 – 21 = -2
∴ श्रेढ़ी एक समान्तर श्रेढ़ी है I
तथा d = a2 – a1 = -2
अब ∵ इस श्रेढ़ी का प्रत्येक पद पंक्ति की संख्या को दर्शाता है I
∴ an = a1 + (n – 1)d
5 = 23 + (n – 1)(-2)
5 – 23 = (n – 1)(-2)
-18(-2) = n – 1
9 = n – 1
∴ n = 9 + 1 = 10
अतः क्यारी में कुल 10 पंक्यियाँ है I उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 11. संजय ने वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रुपये की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 रुपये बढ़ाता गया। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 रुपये हो जाती है, तो n का मान ज्ञात कीजिए। हल: संजय के बचत को निम्नानुसार लिखा जा सकता है –
प्रथम सप्ताह द्वितीय सप्ताह तृतीय सप्ताह …..n वाँ सप्ताह
5 (5+ 1.75) (5 + 2 x 1.75) …… 20.75
5 6.75 8.50 ….. 20.75
अतः संजय की सप्ताहिक बचत से प्राप्त श्रेढ़ी के लिए
a1 = a = 5, a2 = 6.75, a3 = 8.50, an = 20.75
अब ∵ संजय साप्ताहिक बचत में समान राशि 1.75 रुपये में बढ़ाता गया
∴ d = 1.75 रुपये
अब ∵ an = a + (n – 1)d
20.75 = 5 + (n – 1)(1.75)
20.75 – 5 = (n – 1)(1.75)
15.751.75 = n -1
1575175 = n -1
9 = n -1
∴ n = 9 + 1 = 10. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 12. क्या समांतर श्रेढ़ी 18,15 12 , 13,…….. का एक पद – 47 है? यदि हाँ तो कौन सा पद है? हल: दिया है: 18,15 12 , 13,……..
यहाँ पर, a1 = a = 18, a2 =15 12 = 312
∴ d = a2 – a1 = -2
= 312 – 18 = 31- 362
d = -52
माना an = -47
a + (n – 1)d = an
18 + (n – 1)-52 = -47
(n – 1)-52 = -47 – 18 = -65
n – 1 = 65 x 25 = 26
n = 26 + 1 = 27
∵ n का मान धनात्मक पूर्णांक है I
∴ -47 दिये गये श्रेढ़ी का 27 वाँ पद है I उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 13. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का 11 वाँ पद 38 और 16 वाँ पद 73 है, तो इस श्रेढ़ी का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
तथा सार्वांतर = d
दिया है : a11 = 38
a + (11 – 1)d = 38
a + 10d = 38
तथा a16 = 73
a + (16 – 1)d = 73
a + 15d = 73 ………..(2)
समी. (2) में समी. (1) को घटाने पर,
a + 15d = 73
a + 10d = 38
– – –
____________________
5d = 35
d = 7
समी. (1) में d का मान रखने पर,
a + (10)(7) = 38
a = 38 – 70
a = -32
∵ an = a + (n – 1)d
∴ a31 = -32 + (31 – 1)(7)
a31 = -32 + 210
= 178. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 14. किसी समांतर श्रेढ़ी का 12 वाँ पद उसके 5 वें पद से 14 अधिक है और दोनों पदों का योग 36 है, तो इस श्रेढ़ी का m वाँ पद ज्ञात कीजिए। हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a तथा सार्वान्तर = d है I
दिया है : a12 = a5 + 14
a12 – a5 = 14
[ a + (12-1)d ] – [ a + (5 -1)] = 14
a + 11d – a – 4d = 14
7d = 14
d = 2
तथा a12 + a5 = 14
a + (12 – 1)d + a + (5 -1) d = 36
a + 11d +a +4d = 36
2a + 15d = 36
2a + 15 x 2 = 36
2a = 36 – 30 = 6
a = 3
∴ am = a + (m – 1)d
am = 3 + (m – 1)2
am = 3 + 2m – 2
am = 2m + 1. उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 15. समांतर श्रेढ़ी 3, 15,27,39, …….. का कौन सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा? हल: दिया है : समान्तर श्रेढ़ी 3, 15, 27,39, ……..
यहाँ पर, a1 = a = 3, a2 =15
∴ d = a2 – a1 = -2
= 15 – 3 = 12
माना अभीष्ट पद = an
प्रश्नानुसार,
an = a54 + 132
a + (n – 1) d = a + (54- 1)d + 132
3 + (n – 1 )12 = 3 + 53 x 12 + 132
(n – 1 )12 = 636 + 132
(n – 1) = 76812
n – 1 = 64
n = 64 + 1 = 65 वाँ पद I उत्तर
Page No.:112
प्रश्न 16. किसी समांतर श्रेढ़ी के चौथे और आठवें पदों का योग 24 है तथा छठे और दसवें पदों का योग 44 है। इस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए। हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
सार्वान्तर = d
प्रश्नानुसार, a4 + a8 = 24
[a + (4 – 1)d] + [ a + (8 – 1)d ] = 24
a + 3d + a + 7d = 24
2a + 10d = 24
a + 5d = 12 ………(1)
a6 + a10 = 44
[a + (6 – 1)d] + [ a + (10 – 1)d ] = 44
a + 5d + a + 9d = 44
2a + 14d = 44
a + 7d = 22 ……..(2)
समी. (1) व (2) को हल करने पर,
a + 7d = 22
a + 5d = 12
– – –
____________________
2d = 10
d = 5
समीकरण (1) में d = 5 मान रखने पर,
a + 5(5) = 12
a = 12 – 25
a = -13
∴ समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पद होंगे –
a,( a + d), (a + 2d)
-13, (-13+5), (-13+2 x 5)
-12, -8, -3. उत्तर
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प्रश्न 17. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य है? हल: हम जानते है कि,
∴ तीन अंको की 3 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या = 102
तथा तीन अंको की 3 से विभाज्य सबसे बड़ी संख्या = 999
तो समान्तर श्रेढ़ी होगी – 102, 105, 108, ……..999
यहाँ पर a1 = a = 102, a2 = 105
d = a2 – a1 = 105 – 102 = 3
माना an = 999
∴ a + (n – 1)d = an
102 + ( n – 1)d = 999
102 + (n – 1)(3) = 999
(n – 1).3 = 999 – 102
(n – 1).3 = 897
n – 1 = 8973 = 299
n = 299 + 1 = 300
अतः 3 से विभाज्य कुल संख्या 300 होगी I
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प्रश्न 18. समांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13,………. 253 में अंतिम से 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए। हल: दिया है: समांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13,………. 253
यहाँ पर a1 = a = 3, a2 = 8
तथा d = a2 – a1 = 8 – 3 = 5
∴ an = 253
a + (n – 1)d = an
3 + (n – 1).5 = 253
(n – 1).5 = 253 -3 = 250
n – 1 = 2505 = 50
n = 50 + 1 = 51
अब अंतिम से 10 वाँ पद = प्रारंभ से [(n -10) + 1 ] वाँ पद
= ( 51- 10) + 1
= 42 वाँ पद
∴ a42 = a + ( 42 -1).d
= 3 + 41.(5)
= 3 + 205
= 208. उत्तर
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प्रश्न 19. एक समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद 1q और q वाँ पद 1P है, तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी के (pq ) वाँ पद का मान 1 है। हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
सार्वान्तर = d
प्रश्नानुसार, aP = 1q
a + (p – 1)d = 1q ………..(1)
तथा aq = 1P
a + (q – 1)d = 1P ………..(2)
समी. (1) व (2) को हल करने पर,
a + (p – 1)d = 1q
a + (q – 1)d = 1P
– – –
_______________
d [ (p – 1) – (q – 1)] = 1q – 1P
d [ p – 1 – q + 1] = (p – q )Pq
d (p – q) = (p – q )Pq
∴ d = 1Pq
समी. (1) में d का मान रखने पर,
a + (p – 1).1Pq = 1q
a = 1q – (p – 1 )Pq
= p – p + 1Pq
a = 1Pq
अतः TPq = a + (pq – 1).d
= 1Pq + (pq – 1).1Pq
= 1 + pq -1 Pq =1. सिद्ध हुआ I
Page No.:113
प्रश्न 20. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद q और q वाँ पद p हो, तो सिद्ध कीजिए कि (p + q ) वाँ पद शून्य है। हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
सार्वान्तर = d
प्रश्नानुसार, aP = q
a + ( p -1 )d = q …………(1)
तथा aq = q
a + ( q -1 )d = p …………(2)
समी. (1) व (2) को हल करने पर,
a + ( p -1 )d = q
a + ( q -1 )d = p
– – –
_______________
d [ (p – 1) – (q – 1)] = (q – p)
d [ ( p – 1 – q + 1)] = -(p – q)
d ( p – q ) = – (p – q)
d = – ( p – q )(p – q) = -1
समी. (1) में d का मान रखने पर,
a + ( p – 1)(-1) = q
a = q + ( p – 1 )
a = p + q – 1
∵ an = a + (n – 1).d
∴ ap + q = a + ( p + q – 1). (-1)
= p + q – 1 – p – q + 1
= 0. सिद्ध हुआ I
Page No.:113
प्रश्न 21. यदि a.b.c किसी समांतर श्रेढ़ी के क्रमशः p वें, q वें और rवें पद हैं, तो सिद्ध कीजिए q कि- a(q-r) + b(r-p) + c(p-q) = 0 हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = A
सार्वान्तर = D
प्रश्नानुसार, a = aP
a = A + ( p – 1)D ……(1)
b = aq
b = A + ( q – 1)D ……(2)
तथा c = ar
c = A + ( r – 1)D ……(3)
बायाँ पक्ष = a. (q – r) + b (r – p) + c(p – q)
= [A + ( p – 1)D] (q – r) + [A + ( q – 1)D] ( r – p) + [ A + ( r – 1) D ].(p – q) = 0
= A [ (q – r ) + ( r – p) + ( p – q)] + D [(p-1)(q – r )+ ( q- 1)( r – p) + ( r – 1 )( p – q)]
= A [0] + D[ p (q – r) + q(r – p) + r ( p – q) – 1 { q – r + r – p + p – q}]
= 0 + D[pq – pr + qr -qp + rp- rq -1. {0}]
= 0 + D[0] – 0
= 0
= दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
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प्रश्न 22. n के किस मान के लिए, समांतर श्रेढ़ियों 63,65,67,…… और 3,10,17… के n वें पद बराबर होंगे? हल: प्रथम समान्तर श्रेढ़ी के लिए 63,65,67,……
a1 = a = 63; a2 = 65
d = a2 – a1 = 65 – 63 = 2
∵ an = a + (n – 1).d
∴ an = 63 + (n – 1)(2)
an = 63 + 2n – 2
an = 61 + 2n
तथा द्वितीय समान्तर श्रेढ़ी के लिए 3,10,17…
a1 = a = 3; a2 = 10
d = a2 – a1 = 10 – 3 = 7
∵ Tn = a + (n – 1)d
Tn = 3 + (n – 1). 7
Tn = 3 + 7n – 7
Tn = -4 + 7n ………(2)
प्रश्नानुसार,
an = Tn
61 + 2n = -4 + 7n
61 +4 = 7n – 2n
65 = 5n
∴ n = 655 = 13. उत्तर
Page No.:116
प्रश्न 1. 12 और – 12 का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए I हल: यहाँ पर , a = 12 , b = – 12
∵ समान्तर माध्य (A) = a + b 2
∴ A = 12 + – 12 2 = 02 = 0. उत्तर
Page No.:116
प्रश्न 2. x2 + 3xy और y2 – 3xy का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए I हल: यहाँ a = (x2 + 3xy )
तथा b = (y2 – 3xy)
∵ समान्तर माध्य (A) = a + b 2
A = (x2 + 3xy ) + (y2 – 3xy)2
A = x2 + y22. उत्तर
Page No.:116
प्रश्न 3. दो संख्याओं का समान्तर माध्य 7 और गुणनफल 45 है I संख्याएँ ज्ञात कीजिए I हल: माना कि वे संख्याएँ a तथा b हैं I
तब प्रश्नानुसार,
a + b 2 = 7
a + b = 14 ……(1)
तथा a.b = 45
b = 45 a …….(2)
समी. (1) व (2) से,
a + 45 a = 14
a2+ 45 a = 14
a2+ 45 = 14a
a2 – 14a + 45 = 0
a2 – 5a – 9a + 45 = 0
a ( a – 5) – 9 (a – 5) = 0
( a – 5) (a – 9) = 0
∴ a – 5 = 0, a – 9 = 0
a = 5, a = 9
जब a = 5 तब b = 45 5 = 9
तथा जब a= 9 तब b = 45 9 = 5
अतः वें संख्याएँ 5 तथा 9 होंगे I उत्तर
Page No.:116
4. दो संख्याओं का समान्तर माध्य 6 और उनके वर्गो का योग 90 है I संख्याएँ ज्ञात कीजिएI हल: माना कि वे संख्याएँ a तथा b हैं I
तब प्रश्नानुसार, a + b 2 = 6
a + b = 12 ……..(1)
तथा a2 + b2 = 90 ………(2)
समी. (1) से, b = (12 -a )
b के इस मान को समी. (2) में रखने पर,
a2 + (12 – a )2 = 90
a2 + 144 + a2 – 24a = 90
2a2 – 24a + 144 – 90 = 0
2a2 – 24a + 54 = 0
a2 – 12a + 27 = 0
a2 – 3a – 9a + 27 = 0
a ( a – 3) – 9(a – 3) = 0
( a – 3)( a – 9) = 0
∴ a – 3 = 0 तथा a – 9 = 0
a = 3, a = 9
जब a = 3 तब b = 12 – 3 = 9
तथा जब a = 9 तब b = 12 – 9 = 3
अतः वे संख्याएँ 3 तथा 9 होंगे I उत्तर
Page No.:116
प्रश्न 5. -4 और 10 के बीच 6 पद निवेश करते हुए समान्तर श्रेढ़ी का निर्माण कीजिए I हल: माना 6 समान्तर माध्य A1, A2, A3,………. A6 है I
तब -4, A1, A2, A3,………. A6 , 10 समान्तर श्रेढ़ी में होंगे I
यहाँ पर प्रथम पद a = -4
माना सर्वान्तर = d
∵ समान्तर श्रेढ़ी में कुल पद n = 6 + 2 = 8
तथा a8 = 10, [ an = a + (n – 1)d]
a + (8 -1)d = 10
-4 + 7d = 10
7d = 14
∴ d = 2
अब समान्तर श्रेढ़ी का
A1 = a2 = a + d
= -4 + 2
= -2
A2 = a3 = a + 2d
= -4 + 2(2) = 0
A3 = a4 = a + 3d
= -4 + 3(2)
= 2
A4 = a5 = a + 4d
= -4 + 4(2)
= 4
A5 = a6 = a + 5d
= -4 + 5(2)
= 6
A6 = a7 = a + 6d
= -4 + 6(2)
= 8
अतः अभीष्ट समान्तर माध्य है – -2,0, 2, 4, 6, 8.
Page No.:116
प्रश्न 6. 11 और -7 के बीच 5 समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए I हल: माना 5 समान्तर माध्य A1, A2, A3, A4, A5 है I
तब 11, A1, A2, A3, A4, A5, -7 समान्तर श्रेढ़ी में होंगे I
यहाँ पर प्रथम a1 = a = 11
माना सार्वान्तर = d
कुल पद n = 5 + 2 = 7
∵ a7 = -7, [∵ an = a + (n -1)d ]
a + (7 – 1)d = -7
11 + 6d = -7
6d = -7 -11
6d = -18
∴ d = -3
अब समान्तर श्रेढ़ी का
A1 = a2 = a + d
= 11 – 3
= 8
A2 = a3 = a + 2d
= 11 + 2(-3) = 5
A3 = a4 = a + 3d
= 11 + 3(-3)
= 2
A4 = a5 = a + 4d
= 11 + 4(-3)
= -1
A5 = a6 = a + 5d
= 11 + 5(-3)
= -4
अतः अभीष्ट समान्तर माध्य है 8, 5, 2, -1, -4. उत्तर
Page No.:117
प्रश्न 7. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के p वें व q वें पदों का माध्य, r वें व s वें पदों के माध्य के बराबर है,तो सिद्ध कीजिए कि –
p + q = r + s.
हल: माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
तथा सार्वांतर = d
∴ ap = a + (p – 1)d
aq = a + (q – 1)d
ar = a + (r – 1)d
as = a + (s – 1)d
प्रश्नानुसार, ap + aq 2 = ar + as 2
[ a + ( p – 1)d ] + [ a + ( q – 1)d ] 2
= [ a + ( r – 1)d ] + [ a + ( s – 1)d ] 2
2a + d [p-1 + q – 1] = 2a + d [ r – 1 + s – 1 ]
p + q – 2 = r + s -2
p + q = r + s सिद्ध हुआ I
Page No.:117
प्रश्न 8. 7 और 49 के बीच n समान्तर माध्य है I यदि चौथे माध्य पद और (n – 2) वें के माध्य पद का अनुपात 5 : 4 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए I हल: माना n समान्तर माध्य A1, A2, A3………… An है I
तब 7, A1, A2, A3………… An, 49 समान्तर श्रेढ़ी में होंगे I
यहाँ पर a1 = a = 7
∵ (n + 2) वाँ पद = 49
a + (n + 2 – 1)d = 49
7 + ( n + 1)d = 49
( n + 1)d = 49 – 7
( n + 1)d = 42
∴ d = 42 n + 1 ……..(1)
प्रश्नानुसार,
A4 An – 2 = 5 4
a + 4da + (n -2)d = 5 4
4 x ( a + 4d ) = 5[ a + (n – 2)d]
4a + 16d = 5a + 5(n – 2)d
16d – 5(n – 2)d = 5a – 4a
d[ 16 – 5n + 10] = a
42 n + 1 (26 – 5n) =7, [समी. (1) से]
26 – 5n = 7 X (n +1) 42
26 – 5n = n +1 6
6 x (26 -5n) = n + 1
156 -30n = n + 1
156 – 1 = n + 30n
155 = 31n
n = 155 31 = 5.
करके देखें-
Page No.:119
1. क्या किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों के योग Sn और प्रथम (n -1) पदों के योग Sn- 1 का अंतर, श्रेढ़ी के n वें पद के बराबर है ? हल: माना समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सर्वान्तर d है I तब,
प्रथम n पदों का योग Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
प्रथम (n -1) पदों का योग
Sn- 1 = n – 12[2a + ( n – 1 – 1)d]
= n – 12[2a + (n – 2)d]
∴ Sn – Sn- 1 = n 2 [ 2a + ( n-1)d] – n – 12,
[2a + (n – 2)d]
= n 2.2a + n 2.(n – 1)d – n – 12. 2a – n – 12. (n – 2)d
= 2an 2 –n – 12 + d n.(n – 1)2 –(n-1)(n – 2)2
= 2a n +n – 12 + d n – 12
(n – n + 2)
= a + n – 12. 2d
= a + (n – 1)d
= an
अतः यह श्रेढ़ी के nवें पद के बराबर हैं I उत्तर
Page No.:119
प्रश्न 2. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग Sn = 4n – n2 है, तो क्या इसके प्रथम पद का मान ज्ञात कर सकते हैं ? क्या यह S1 है ? इस श्रेढ़ी के प्रथम दो पदों का योग क्या है ? दूसरा पद क्या है ? इसी तरह से तीसरे, चौथे, पंद्रहवे और nवें पद ज्ञात कीजिए I
हल: Sn = 4n – n2 चूँकि प्रथम पद तक का योग और प्रथम पद एक ही अर्थ रखते हैं I अतः n = 1 रखने पर S1 प्राप्त होगा, वही a (प्रथम पद) होगा I
S1 = 4.1 – 12
= 4 – 1 = 3
∴ प्रथम पद = 3
अब S3 = 4.3 – 32
= 12 – 9 = 3
तथा S2 = 4.2 – 22
= 8 – 4 = 4
∴ दूसरा पद = S2 – S1
= 4 – 3 = 1
प्रथम दो पदों का योग
= S1 + S2
= 3 + 1 = 4
∴ तीसरा पद = S3 – S2
= 4 – 3 = 1
इसी प्रकार, S4 = 4.4 – 42
= 16 – 16
S3 = 3
∴ चौथा पद = S4 – S3
= 0 – 3 = -3
S15 = 4.15 – 152
= 60 – 225
= -165
S14 = 4.14 – 142
= 56 – 196
= -140
∴ पंद्रहवां पद = S15 – S14
= -165 – (-140)
= -165 + 140
= -25
Sn = 4n – n2
Sn – 1 = 4(n -1) – (n -1)2
∴ n वाँ पद = Sn – Sn – 1
= 4n – n2 – 4(n – 1) + (n -1)2
= 4n – n2 – 4n + 4 + n2 + 1 – 2n
= 5 – 2n. उत्तर
Page No.:124
प्रश्न . निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए –
Page No.:124
(i) 9, 12, 15, ……….16 पदों तक हल: यहाँ पर, a = a1 = 9; a2 = 12
d = a2 – a1 = 12 – 9 = 3
n = 16
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
S16 = 16 2 [ 2(9) + ( 16 -1). 3]
= 8 [ 18 + 45]
S16 = 8[63] = 504. उत्तर
Page No.:124
(ii) 8, 3, -2………… 22 पदों तक I हल: यहाँ पर, a = a1 = 8; a2 = 3
d = a2 – a1 = 3 – 8 = -5
n = 22
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
S22 = 22 2 [ 2(8) + ( 22 -1)(-5)]
= 11 [ 16 + 21(-5)]
= 11 [ 16 – 105 ]
= 11 [ – 89 ]
∴ S16 = -979. उत्तर
Page No.:124
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………..100 पदों तक I हल: यहाँ पर, a = a1 = 0.6; a2 = 1.7
d = a2 – a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1
n = 100
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
∵ S100 = 100 2 [ 2(0.6) + ( 100 -1)(1.1)]
= 50 [ 1.2 + 99(1.1)]
= 50 [ 1.2 + 108.9]
= 50 [ 110.1 ]
= 5505.0
∴ S100 = 5505. उत्तर
Page No.:124
(iv) 1 15 , 1 12 , 1 10, ………………11 पदों तक I हल: यहाँ पर, a = a1 = 1 15; a2 = 1 12
d = a2 – a1 = 1 12 – 1 15 = 5 – 4 60
d = 1 60,
n = 11
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
S11 = 11 2 2(1 15) + ( 11 -1)(1 60)
= 11 2 2 15 + 1 6
= 11 2 4 + 5 30
= 11 2 x 9 30
∴ S11 = 33 20. उत्तर
Page No.:124
(v) n2 + 1 n , n, n2 – 1 n, ……..20 पदों तक I हल: यहाँ पर, a = a1 = n2 + 1 n
a2 = n2 – 1 n
d = a2 – a1 = n2 + 1 n – n2 – 1 n
= n2 -1 – n2 – 1 n
d = -2n
तथा N = 20
∵ Sn = N 2 [ 2a + ( N -1)d].
S20 = 20 2 2n2 + 1 n + ( 20 -1)-2 n
S20 = 10 2 (n2 + 1) n -38 n
S20 = 10 2n2 + 2 – 38 n
S20 = 10 2n2 – 36 n
S20 = 20 (n2 – 18) n. उत्तर
Page No.:124
(vi) 1 -1n , 1 -2n , 1 -3n ,……………n पदों तक I हल: यहाँ पर, a = a1 = 1 -1n
a2 = 1 -2n
तथा d = a2 – a1 = 1 -2n – 1 -1n
= 1 – 2n – 1 + 1n
= -2n + 1n
= -2 + 1 n = -1n
कुल पदों की संख्या N = n
∵ Sn = N 2 [ 2a + ( N -1)d].
Sn = n 2 2 1 -1n + ( n -1).-1 n
= n 2 2-2n -n X 1 n +1 n
= n 2 2 -2n -1+1 n
= n 2 1 -2n+1 n
= n 2 n – 2 + 1n
= n 2 n-1 n
= (n – 1) 2. उत्तर
Page No.:124
प्रश्न 2. 1046.5 योग प्राप्त करने के लिए समांतर श्रेढ़ी 7,101 2,14 …….के कितने पद लेने होंगे? हल: माना पदों की संख्या = n
तब Sn = 1046.5
यहाँ पर, a = a1 = 7; a2 = 101 2 = 21 2
∴ d = a2 – a1 = 21 2 – 7= 21 -14 2
= 7 2
∵ 1046.5 = n 2 2 X 7+ (n-1) X 7 2
1046.5 = n 2 28 + (n -1) X 7 2
1046.5 x 4 = n[28 + 7n -7]
4186 = n( 21 + 7n)
4186 = 21n + 7n2
7n2 + 21n – 4186 = 0
n2 + 3n – 598 = 0
n2 + 26n – 23n – 598 = 0
n(n + 26) – 23(n + 26) = 0
(n + 26)(n – 23) = 0
n + 26 = 0 या n – 23 = 0
∴ n = -26 n = 23
परन्तु पदों की संख्या धनात्मक होती है,
∴ n = 23 पद I उत्तर
Page No.:124
प्रश्न 3. समांतर श्रेढ़ी 24, 21, 18, ……. के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 78 हो ? हल: दिया है : समान्तर श्रेढ़ी 24, 21, 18, ……….
यहाँ पर a1 = a= 24
a2 = 21
∴ d = a2 – a1 = 21 – 24 = -3
माना पदों की संख्या = n
तब Sn = 78
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
78 = n 2 [ 2 x 24 + ( n-1) x (-3)]
78 x 2 = n [48 -3n + 3]
156 = n [51 – 3n ]
156 = 51n – 3n2
3n2 – 51n + 156 = 0
n2 – 17n + 52 = 0
n2 – 4n – 13n + 52 = 0
n (n – 4) – 13 (n -4) = 0
(n – 4) (n – 13) = 0
∴ n – 4 = 0 या n -13 = 0
n = 4, n = 13
अतः अभीष्ट पदों की संख्या 4 अथवा 13 होगी I उत्तर
Page No.:124
प्रश्न 4. किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 1, अंतिम पद 11 और योग 36 है, तो पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए। हल: दिया है : समान्तर श्रेढ़ी का
प्रथम पद a1 = a= 1
द्वितीय पद l = an = 11
पदों का योग Sn = 36
∵ Sn = n2 [a + l ]
Sn = n2 [ a + an] [ an = a + (n – 1)d ]
36 = n2 [1 + 11]
36 x 2 = n (12)
∴ n = 36 X 212 = 6
∵ a + (n – 1)d = an
a + (n – 1)d = a6
1 + (6 – 1)d = 11
d = 105
∴ d = 2. उत्तर
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प्रश्न 5. किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 17 और अंतिम पद 350 है। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं? इस श्रेढ़ी का योग ज्ञात कीजिए। हल: दिया है: a = 17, l = 350, d = 9
माना कुल पदों की संख्या = n है,
Tn = a + (n- 1)d
l = a + (n- 1)d
350 = 17 + (n – 1)(9)
350 – 17 = (n – 1)(9)
3339 = n – 1
37 = n – 1
∴ n = 37 + 1 = 38 उत्तर
∵ Sn = n2 [a + l ]
S38 = 382 [17 + 350 ]
S38 = 19[367]
S38 = 6973. उत्तर
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प्रश्न 6. 1 और 100 के बीच सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जो 3 के गुणज हों I हल: 1 और 100 के बीच 3 के गुणज प्राकृत संख्याएँ हैं –
3, 6, 9, 12, 19, ………..99
यहाँ पर श्रेढ़ी का a1 = a = 3, a2 = 6, a3 = 9
अब a2 – a1 = 6 – 3 = 3
a3 – a2 = 9 – 6 = 3
…………………….
……………………
……………………
अतः यह श्रेढ़ी समान्तर श्रेढ़ी होगी I
जहाँ d = a2 – a1= 3
∵ an = a + (n – 1)d
99 = 3 + (n – 1)(3)
99 – 3 = (n – 1).(3)
963 = n – 1
32 = n – 1
∴ n = 32 + 1 = 33
∵ Sn = n2 [ 2a + (n – 1)d ]
S33 = 332 [ 2(3) + (33 – 1)(3) ]
= 332 [ 6 + 32 x 3 ]
= 332 [6 + 96]
= 332 .(102)
= 33 (51)
S33 = 1683. उत्तर
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प्रश्न 7. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। हल: 0 और 50 के बीच विषम संख्याएँ हैं –
1, 3, 5, 7, 9,………..49
इस श्रेढ़ी में a1 = a = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7
अब a2 – a1 = 3 – 1 = 2 = d
∴ यह श्रेढ़ी समान्तर श्रेढ़ी है I
जहाँ d = a2 – a1 = 2
अतः a = 1, d =2 , Tn = 49
∵ an = a + (n – 1)d
49 = 1 + ( n – 1 )(2)
49 – 1 2 = n – 1
24 + 1 = n
∴ n = 25
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
S25 = 25 2 [ 2(1) + (25 -1)(2)]
= 25 2 [ 2 + 48]
= 25 2 [50]
= 25[25]
∴ S25 = 625. उत्तर
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प्रश्न 8. उस समांतर श्रेढ़ी के पहले 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका दूसरा पद 14 और तीसरा पद 18 है। हल: दिया है: समांतर श्रेढ़ी का
n = 51, a2 = 14, a3 = 18
यहाँ पर, d = a3 – a2
= 18 – 14 = 4
अब a2 – a1 = d
14 – a1 = 4
14 – 4 = a1
∴ a1 = 10
a = a1 = 10
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
S51 = 51 2 [ 2(10) + (51 -1)(4)]
S51 = 51 2 [ 20 + 200 ]
= 51[110]
∴ S51 = 5610. उत्तर
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प्रश्न 9. किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 हैं, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए। हल: दिया है : S7 = 49
7 2 [ a + l ] = 49 ………..(1)
तथा S17 = 289
17 2 [ a + l ] = 289 ………(2)
समीकरण (1) से,
a + l = 49 x 2 7
a + l = 7 x 2
a + l = 14
∴ Sn = n 2 [ a + l ]
Sn = n 2 [ 14 ]
Sn = 7n. उत्तर
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प्रश्न 10. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम, द्वितीय और अंतिम पद क्रमशः a, b, और 2a हों, तो सिद्ध कीजिए कि श्रेढ़ी का योगफल 3ab 2(b – a) होगा I
हल: दिया है: a = a1= a
a2 = b
l = an = 2a
∵ d = a2 – a1 = b – a
तथा an = a + (n – 1)d
2a = a + (n- 1)(b-a)
2a – a = (n – 1) (b – a)
ab – a = n – 1
n = ab – a + 1
n = a + b – ab – a
∴ n = bb – a
∵ Sn = n 2 [ a + l ]
= b (b – a ) 2[ a + 2a ]
= b2 (b – a) (3a)
∴ Sn = 3ab2 (b – a). सिद्ध हुआ I
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प्रश्न 11. एक समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग n2+ 4n है । श्रेढ़ी का 15वाँ पद ज्ञात कीजिए। हल: दिया है : Sn = n2+ 4n
∴ S15 = (15)2+ 4(15)
S15 = 225 + 60 = 285 ………….(1)
तथा S14 = (14)2+ 4(14)
= 196 + 56 = 252 ………(2)
∵ Tn = Sn – Sn – 1
T15 = S15 – S15 – 1
= S15 – S14
∴ T15 = 285 – 252 = 33. उत्तर
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प्रश्न 12. संख्याओं के उस सूची के प्रथम 24 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका n वाँ पद an = 3 + 2n से दिया जाता है। हल: दिया है: an = 3 + 2n
n = 1, 2, 3, 4, ………….रखने पर क्रमशः
a1= 3 + 2(1) = 5
a2= 3 + 2(2) = 7
a3= 3 + 2(3) = 9
……………………
……………………
……………………
a24= 3 + 2(24) = 3 + 48 = 51
∵ Sn = n 2 [ a + l ]
S24 = 24 2 [ a1 + an]
S24 =12 [ 5 + 51]
∴ S24 = 12 x 56 = 672. उत्तर
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प्रश्न 13. किसी समांतर श्रेढ़ी के pवें, q वें, r वें पदों का योगफल क्रमश: a.b.c हैं, तो सिद्ध कीजिए कि – ap (q – r) + bq (r – p) + cr (p – q) = 0. हल: दिया है : ap = a
p2 . [A + L] = a
12 . [A + L] = ap …………..(1)
तथा aq = b
q2 . [A + L] = b
12 [A + L] = bq ………….(2)
और ar = c
r2 [A + L] = c
12 [A + L] = cr …………..(3)
बायाँ पक्ष = ap (q – r) + bq (r – p) + cr (p – q)
= 12 [ A + L ](q – r) + 12 [ A + L ](r – p) + 12 [ A + L ](p – q)
= 12 [ A + L ] [ q – r + r – p + p – q ]
= 12 [ A + L ][0]
= 0 = दायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:125 प्रश्न 14. तीन समान्तर श्रेढ़ियों के n पदों के योगफल क्रमशः S1, S2, S3 हैं I यदि प्रत्येक श्रेढ़ी का प्रथम पद 1 तथा सार्व अंतर क्रमशः 1, 2, 3 हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
S1 + S3 = 2 S2.
हल: प्रथम श्रेढ़ी के n पदों का योगफल
S1 = n2 [2.1 + (n -1). 1]
= n2 ( 2 + n – 1)
= n (n + 1)2
द्वितीय श्रेढ़ी के n पदों का योगफल
S2 = n2 [2.1 + (n -1).2]
= n2 { 2 + (n – 1).2 }
= n ( 1 + n – 1)
= n2
तृतीय श्रेढ़ी के n पदों का योगफल
S3 = n2 [2.1 + (n -1).3]
= n2 [2 + 3n – 3 ]
= n2 [ 3n – 1 ]
∴ S1 + S3 = n (n + 1)2 + n (3n – 1)2
= n2 . ( n + 1 + 3n – 1)
= n2 . 4n
= 2n2
= 2 S2, {∵ S2 = n2 } सिद्ध हुआ I
Page No.:125 प्रश्न 15. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के n, 2n तथा 3n पदों के योग क्रमशः S1, S2 व S3 हो, तो सिद्ध कीजिए कि S3 = 3( S2– S1).
हल: समांतर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग = n 2[ a + l ]
∵ Sn = n 2 [ a + l ] …………..(1)
S1 = 1 2 [ a + l ]
इसी प्रकार, n = 2
S2 = [ a + l ]
इसी प्रकार, n = 3
S3 = 3 2 [ a + l ]
S3 = 3 2 [ a + l ]
अब, बायाँ पक्ष = 3[ S2 – S1 ]
= 3 (a + l ) – 1 2 [a + l ]
= 3a2 -l2
= 3 12[ a + l ]
= 3 2 [a + l ]
= S3 [ समी. (3) से ]
∴ दायाँ पक्ष = S3 = बायाँ पक्ष I सिद्ध हुआ I
Page No.:125 प्रश्न 16. टेलीविजन बनाने वाली एक कंपनी तीसरे वर्ष में 600 टेलीविजन तथा सातवें वर्ष में 700 टेलीविजन बनाती है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष बनने वाले टेलीविजनों में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए-
(i) प्रथम वर्ष में बनाये गये टेलीविजनों की संख्या
(ii) 9वें वर्ष में बनाये गये टेलीविजनों की संख्या
(iii) प्रथम 7 वर्षों में बनाये गये कुल टेलीविजनों की संख्या। हल – माना प्रत्येक वर्ष उत्पादन में वृद्धि d है I चूँकि यह एकसमान है, अतः उत्पादन समान्तर श्रेढ़ी में आगे बढ़ रहा है I माना प्रथम वर्ष में उत्पादन a है I
∴ a3= 600
a7= 700
अतः an = a + (n – 1)d से,
a3 = a + (3 – 1)d = 600
a + 2d = 600 ……….(1)
a7= a + ( 7 – 1)d = 700
a + 6d = 700 ……….(2)
समी. (1) और (2) से,
a + 2d = 600
a + 6d = 700
— — — (घटाने पर)
________________
-4d = – 100
∴ d = -100-4 = 25
अतः समी. (1) से,
a + 2 x 25 = 600
a = 600 – 50
= 550
∴ प्रथम वर्ष में उत्पादन = 550 टी. वी. उत्तर
9 वें वर्ष में उत्पादन a9 = a + 8d
= 550 + 8 x 25
= 550 + 200
= 750 टी.वी. उत्तर
प्रथम 7 वर्षो में कुल उत्पादन
Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d] से,
S7 = 7 2 { 2 x 550 + ( 7 -1).25}
= 7 2 ( 1100 + 6 x 25 )
= 7 2 ( 1100 + 150 )
= 7 2x 1250
= 7 x 625 = 4375. उत्तर
Page No.:125 प्रश्न 17. एक निर्माण कार्य ठेके में कराया जा रहा है, जिसे एक निश्चित तिथि तक पूरा करना है। निश्चित तिथि से विलंब होने पर जुर्माने का प्रावधान इस तरह है: पहले दिन के लिए 200 रु., दूसरे दिन के लिए 250 रु., तीसरे दिन के लिए 300 रु. इत्यादि, अर्थात् पहले दिन का जुर्माना 200 रु. है और इसके बाद प्रत्येक दिन का जुर्माना 50 रु. बढ़ जाएगा। ठेकेदार ने कार्य में 30 दिन का विलंब किया तो उसे कुल कितना जुर्माना देना होगा और 30 वें दिन के लिए कितना जुर्माना होगा? हल: प्रश्नानुसार जुर्माना निम्नानुसार होगा –
जुर्माना : पहला दूसरा तीसरा …..
दिन दिन दिन
रुपये : 200 250 300 में …….,
क्योकिं जुर्माने में प्रथम दिन पश्चात् 50 रुपये की वृद्धि होते जाती है I अतः ये राशियाँ समान्तर श्रेढ़ी में है –
∴ 200, 250, 300, …………30 दिनों तक
यहाँ पर, a1 = a = 200
a2 = 250
d = a2 – a1
= 250 – 200 = 50
n = 30
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
S30 = 30 2 [ 2 x 200 + ( 30 -1)50]
= 15[ 400 + 29 x 50]
= 15 [400 + 1450]
S30 = 15 [1850]
∴ S30 = 27750. उत्तर
Page No.:125 प्रश्न 18. विद्यालय में विद्यार्थियों के समग्र शैक्षिक प्रदर्शन पर 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु. की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले वाले पुरस्कार से 10 रु. कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार की राशि कितनी है? हल: प्रश्नानुसार, पुरस्कारों की संख्या = 7
∴ n = 7
पुरस्कार हेतु कुल राशि = 700 रुपये
∴ S7 = 700
∵ प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले वाले पुरस्कार से दस रुपये कम है I
∴ प्रत्येक पुरस्कार की राशियाँ क्रमशः समांतर श्रेढ़ी में होगी I
जहाँ d = -10
अब a1 = a
a2 = a + d = a – 10
a3 = a + 2d = a + 2 (-10)
= a – 20
……………………
……………………
……………………
a7 = a + 6d
= a + 6(-10)
= a – 60
∵ Sn = n 2 [ a + l ]
S7 = 7 2 [ a + a7 ]
700 = 7 2 [ a + ( a -60) ]
700 = 7 2 (2a – 60)
700 x 2 7 = 2a – 60
200 = 2a – 60
2a = 260
a = 130
अतः पुरस्कार की राशि क्रमशः होगी,
प्रथम पुरस्कार = a1 = 130 रुपये
द्वितीय पुरस्कार = a2 = 130 – 10 = 120 रुपये
तृतीय पुरस्कार = a3 = 120 – 10 = 110 रुपये
चतुर्थ पुरस्कार = a4 = 110 – 10 = 100 रुपये
पाँचवा पुरस्कार = a5 = 100 – 10 = 90 रुपये
छठवाँ पुरस्कार = a6 = 90 – 10 = 80 रुपये
सातवाँ पुरस्कार = a7 = 80 – 10 = 70 रुपये I उत्तर
Page No.:125 प्रश्न 19. 200 लट्ठों (logs) को इस तरह जमाया गया कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे ऊपर की पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे ऊपर की पंक्ति में 18 लट्ठे रखे गए हैं । यह क्रम सभी लट्ठों के रखे जाने तक चला।
ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं और सबसे ऊपर की पंक्ति में कितने लट्ठे हैं? हल: प्रश्नानुसार, कुल लट्ठों की संख्या = 200
∴ Sn = 200
जहाँ n = पंक्तियों की संख्या है I
पंक्तियों में लट्ठों की संख्या निम्नानुसार होगी –
पंक्ति : पहली दूसरी तीसरी ……….
पंक्ति पंक्ति पंक्ति
लट्ठों की 20 19 18, ……….
संख्या :
यहाँ पर लट्ठों की संख्या एक – एक कम होती जा रही है, अतः यह व्यवस्था समान्तर श्रेढ़ी में है I
∴ a1 = a = 20, a2 = 19, a3 = 18,………
∵ d = a2 – a1
= 19 – 20 = -1
Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
200 = n 2 [ 2(20) + ( n-1)(-1)]
400 = n[40 – n + 1]
400 = n[ 41 – n ]
400 = 41n – n2
n2 – 41n + 400 = 0
n2 – 16n – 25n + 400 = 0
n( n – 16) – 25(n – 16) = 0
( n – 16)( n – 25) = 0
n – 16 = 0, n – 25 = 0
n = 16, n = 25
यदि अंतिम पंक्ति (n) = 16 हो, तो
a16 = a + (16 -1)d
= 20 + 15(-1)
= 20 – 15 = 5
और यदि अंतिम पंक्ति (n) = 25 हो, तो
a25 = a + (25 -1)d
= 20 + 24(-1)
= 20 – 24 = -4
जो संभव नहीं है I
अतः पंक्तियों की संख्या n = 16 होगी तथा उसमें लट्ठों की संख्या 5 होगी I उत्तर
Page No.:126 प्रश्न 20. एक आलू दौड़ (potato race) प्रतियोगिता में प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी है। इस बाल्टी से 5 मीटर की दूरी पर पहला आलू रखा है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मीटर की दूरी पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। (देखिए आकृति)
प्रत्येक प्रतियोगी बालिका बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है और उसे लेकर वापस दौड़कर बाल्टी में डालती है। ऐसा वह तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रत्येक प्रतियोगी बालिका को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
(संकेत : पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 × 5 + 2 (5+3) है।)
हल: पहले आलू को बाल्टी में डालने में तय की दूरी = 2 x 5 मीटर = 10 मीटर
दूसरे आलू को बाल्टी में डालने में तय की दूरी = 2 x ( 5 + 3) = 16 मीटर
तीसरे आलू को बाल्टी में डालने में तय की दूरी = 2 x ( 5 + 2 x 3) = 22 मीटर
सभी आलू को बाल्टी में डालने में तय की गई कुल दूरी
= 2 x 5 + 2 (5 + 3 ) + 2 x ( 5 + 2 x 3)
+ 2 x ( 5 + 3 x 3)+ ……+ 2 x (5 + 9 x 3)
= 10 + 2 x (8) + 2 x (11) + 2 x (14)+ …..+ 2 x (32)
= 10 + 16 + 22 + 28 + …….+ 64
यहाँ पर, a1 = a = 10, a2 = 16
d = a2 – a1= 16 – 10 = 6
∵ Sn = n 2 [ 2a + ( n-1)d]
S10 = 10 2 [ 2 x 10 + ( 10 -1) x 6]
= 5 [20 + 9 x 6]
= 5 [20 + 54] = 5[74] = 370 मीटर I उत्तर